Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64640 / 66688
↖ ↑ ↗
← S  3.162455°
W  2.460937°		 ← 304.90 m → S  3.162455°
W  2.458191°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.165198°
W  2.460937°		 ← 304.90 m →
92 987 m²		 S  3.165198°
W  2.458191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493167877197266 y=0.508792877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493167877197266 × 217)
    floor (0.493167877197266 × 131072)
    floor (64640.5)     		tx = 64640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508792877197266 × 217)
    floor (0.508792877197266 × 131072)
    floor (66688.5)     		ty = 66688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64640 / 66688 ti = "17/64640/66688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64640/66688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64640 ÷ 217
    64640 ÷ 131072     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66688 ÷ 217
    66688 ÷ 131072     		y = 0.5087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    -0.017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0552233083623047))-π/2
    2×atan(0.946273813502402)-π/2
    2×0.757800532672959-π/2
    1.51560106534592-1.57079632675     		φ = -0.05519526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05519526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.162455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64640 KachelY 66688 -0.04295146 -0.05519526 -2.460937 -3.162455
    Oben rechts KachelX + 1 64641 KachelY 66688 -0.04290353 -0.05519526 -2.458191 -3.162455
    Unten links KachelX 64640 KachelY + 1 66689 -0.04295146 -0.05524313 -2.460937 -3.165198
    Unten rechts KachelX + 1 64641 KachelY + 1 66689 -0.04290353 -0.05524313 -2.458191 -3.165198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05519526--0.05524313) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05519526--0.05524313) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.04290353) × cos(-0.05519526) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998477128316837 × 6371000     		do = 304.897002811366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.04290353) × cos(-0.05524313) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998474486317097 × 6371000     		du = 304.896196044962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05519526)-sin(-0.05524313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998477128316837-0.998474486317097)×R²
    abs(-0.04290353--0.04295146)×2.64199974020496e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.64199974020496e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.64199974020496e-06×40589641000000     		ar = 92987.2947851406m²