Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64768 / 64768
↖ ↑ ↗
← N  2.108899°
W  2.109375°		 ← 305.22 m → N  2.108899°
W  2.106628°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  2.106154°
W  2.109375°		 ← 305.22 m →
93 163 m²		 N  2.106154°
W  2.106628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494144439697266 y=0.494144439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494144439697266 × 217)
    floor (0.494144439697266 × 131072)
    floor (64768.5)     		tx = 64768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494144439697266 × 217)
    floor (0.494144439697266 × 131072)
    floor (64768.5)     		ty = 64768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64768 / 64768 ti = "17/64768/64768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64768/64768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64768 ÷ 217
    64768 ÷ 131072     		x = 0.494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64768 ÷ 217
    64768 ÷ 131072     		y = 0.494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494140625 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03681554} λ = -0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0368155389082031))-π/2
    2×atan(1.03750162450371)-π/2
    2×0.803801775994266-π/2
    1.60760355198853-1.57079632675     		φ = 0.03680723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03680723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.108899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64768 KachelY 64768 -0.03681554 0.03680723 -2.109375 2.108899
    Oben rechts KachelX + 1 64769 KachelY 64768 -0.03676760 0.03680723 -2.106628 2.108899
    Unten links KachelX 64768 KachelY + 1 64769 -0.03681554 0.03675932 -2.109375 2.106154
    Unten rechts KachelX + 1 64769 KachelY + 1 64769 -0.03676760 0.03675932 -2.106628 2.106154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03680723-0.03675932) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03680723-0.03675932) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03681554--0.03676760) × cos(0.03680723) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.999322690381729 × 6371000     		do = 305.218872208651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03681554--0.03676760) × cos(0.03675932) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.999324452271063 × 6371000     		du = 305.219410335005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03680723)-sin(0.03675932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999322690381729-0.999324452271063)×R²
    abs(-0.03676760--0.03681554)×1.76188933354027e-06×R²
    4.79400000000033e-05×1.76188933354027e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.76188933354027e-06×40589641000000     		ar = 93163.44556847m²