Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65024 / 68096
↖ ↑ ↗
← S  7.013668°
W  1.406250°		 ← 303.08 m → S  7.013668°
W  1.403504°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
S  7.016394°
W  1.406250°		 ← 303.08 m →
91 872 m²		 S  7.016394°
W  1.403504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496097564697266 y=0.519535064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496097564697266 × 217)
    floor (0.496097564697266 × 131072)
    floor (65024.5)     		tx = 65024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519535064697266 × 217)
    floor (0.519535064697266 × 131072)
    floor (68096.5)     		ty = 68096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65024 / 68096 ti = "17/65024/68096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65024/68096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65024 ÷ 217
    65024 ÷ 131072     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68096 ÷ 217
    68096 ÷ 131072     		y = 0.51953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51953125 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122718463027344))-π/2
    2×atan(0.884512650523422)-π/2
    2×0.724192364410406-π/2
    1.44838472882081-1.57079632675     		φ = -0.12241160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12241160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.013668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65024 KachelY 68096 -0.02454369 -0.12241160 -1.406250 -7.013668
    Oben rechts KachelX + 1 65025 KachelY 68096 -0.02449576 -0.12241160 -1.403504 -7.013668
    Unten links KachelX 65024 KachelY + 1 68097 -0.02454369 -0.12245918 -1.406250 -7.016394
    Unten rechts KachelX + 1 65025 KachelY + 1 68097 -0.02449576 -0.12245918 -1.403504 -7.016394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12241160--0.12245918) × R
    4.75800000000054e-05 × 6371000     		dl = 303.132180000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12241160--0.12245918) × R
    4.75800000000054e-05 × 6371000     		dr = 303.132180000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02449576) × cos(-0.12241160) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.992517051180543 × 6371000     		do = 303.077021558115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02449576) × cos(-0.12245918) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.992511240248175 × 6371000     		du = 303.075247120011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12241160)-sin(-0.12245918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992517051180543-0.992511240248175)×R²
    abs(-0.02449576--0.02454369)×5.81093236773356e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.81093236773356e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.81093236773356e-06×40589641000000     		ar = 91872.129325521m²