Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65032 / 67080
↖ ↑ ↗
← S  4.236856°
W  1.384277°		 ← 304.59 m → S  4.236856°
W  1.381531°		 →
↑
304.53 m
↓
↑
304.53 m
↓
S  4.239595°
W  1.384277°		 ← 304.59 m →
92 758 m²		 S  4.239595°
W  1.381531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496158599853516 y=0.511783599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496158599853516 × 217)
    floor (0.496158599853516 × 131072)
    floor (65032.5)     		tx = 65032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511783599853516 × 217)
    floor (0.511783599853516 × 131072)
    floor (67080.5)     		ty = 67080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65032 / 67080 ti = "17/65032/67080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65032/67080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65032 ÷ 217
    65032 ÷ 131072     		x = 0.49615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67080 ÷ 217
    67080 ÷ 131072     		y = 0.51177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    -0.0235595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0740145730133667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02416020} λ = -0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0740145730133667))-π/2
    2×atan(0.928658160394891)-π/2
    2×0.748424619310482-π/2
    1.49684923862096-1.57079632675     		φ = -0.07394709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07394709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.236856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65032 KachelY 67080 -0.02416020 -0.07394709 -1.384277 -4.236856
    Oben rechts KachelX + 1 65033 KachelY 67080 -0.02411226 -0.07394709 -1.381531 -4.236856
    Unten links KachelX 65032 KachelY + 1 67081 -0.02416020 -0.07399489 -1.384277 -4.239595
    Unten rechts KachelX + 1 65033 KachelY + 1 67081 -0.02411226 -0.07399489 -1.381531 -4.239595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07394709--0.07399489) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dl = 304.533800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07394709--0.07399489) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dr = 304.533800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02416020--0.02411226) × cos(-0.07394709) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.997267159584297 × 6371000     		do = 304.591060193731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02416020--0.02411226) × cos(-0.07399489) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.997263626994583 × 6371000     		du = 304.589981249903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07394709)-sin(-0.07399489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997267159584297-0.997263626994583)×R²
    abs(-0.02411226--0.02416020)×3.53258971441672e-06×R²
    4.79399999999998e-05×3.53258971441672e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×3.53258971441672e-06×40589641000000     		ar = 92758.1087370476m²