Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65040 / 65040
↖ ↑ ↗
← N  1.362176°
W  1.362305°		 ← 305.28 m → N  1.362176°
W  1.359558°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.359431°
W  1.362305°		 ← 305.28 m →
93 200 m²		 N  1.359431°
W  1.359558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496219635009766 y=0.496219635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496219635009766 × 217)
    floor (0.496219635009766 × 131072)
    floor (65040.5)     		tx = 65040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496219635009766 × 217)
    floor (0.496219635009766 × 131072)
    floor (65040.5)     		ty = 65040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65040 / 65040 ti = "17/65040/65040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65040/65040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65040 ÷ 217
    65040 ÷ 131072     		x = 0.4962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65040 ÷ 217
    65040 ÷ 131072     		y = 0.4962158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02377670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4962158203125 × 2 - 1) × π
    0.007568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0237767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02377670} λ = -0.02377670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0237767022115479))-π/2
    2×atan(1.02406162166253)-π/2
    2×0.797285394518147-π/2
    1.59457078903629-1.57079632675     		φ = 0.02377446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02377670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02377446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.362176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65040 KachelY 65040 -0.02377670 0.02377446 -1.362305 1.362176
    Oben rechts KachelX + 1 65041 KachelY 65040 -0.02372877 0.02377446 -1.359558 1.362176
    Unten links KachelX 65040 KachelY + 1 65041 -0.02377670 0.02372654 -1.362305 1.359431
    Unten rechts KachelX + 1 65041 KachelY + 1 65041 -0.02372877 0.02372654 -1.359558 1.359431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02377446-0.02372654) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02377446-0.02372654) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02377670--0.02372877) × cos(0.02377446) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999717400837238 × 6371000     		do = 305.275734945993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02377670--0.02372877) × cos(0.02372654) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999718538854201 × 6371000     		du = 305.276082453163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02377446)-sin(0.02372654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999717400837238-0.999718538854201)×R²
    abs(-0.02372877--0.02377670)×1.13801696288718e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.13801696288718e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.13801696288718e-06×40589641000000     		ar = 93200.2220802884m²