Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65056 / 67104
↖ ↑ ↗
← S  4.302591°
W  1.318359°		 ← 304.56 m → S  4.302591°
W  1.315613°		 →
↑
304.53 m
↓
↑
304.53 m
↓
S  4.305330°
W  1.318359°		 ← 304.56 m →
92 750 m²		 S  4.305330°
W  1.315613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496341705322266 y=0.511966705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496341705322266 × 217)
    floor (0.496341705322266 × 131072)
    floor (65056.5)     		tx = 65056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511966705322266 × 217)
    floor (0.511966705322266 × 131072)
    floor (67104.5)     		ty = 67104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65056 / 67104 ti = "17/65056/67104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65056/67104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65056 ÷ 217
    65056 ÷ 131072     		x = 0.496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67104 ÷ 217
    67104 ÷ 131072     		y = 0.511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.00732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02300971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.02392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.075165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02300971} λ = -0.02300971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.075165058604248))-π/2
    2×atan(0.927590366920785)-π/2
    2×0.747850973067186-π/2
    1.49570194613437-1.57079632675     		φ = -0.07509438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02300971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.318359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07509438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.302591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65056 KachelY 67104 -0.02300971 -0.07509438 -1.318359 -4.302591
    Oben rechts KachelX + 1 65057 KachelY 67104 -0.02296177 -0.07509438 -1.315613 -4.302591
    Unten links KachelX 65056 KachelY + 1 67105 -0.02300971 -0.07514218 -1.318359 -4.305330
    Unten rechts KachelX + 1 65057 KachelY + 1 67105 -0.02296177 -0.07514218 -1.315613 -4.305330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07509438--0.07514218) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dl = 304.533800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07509438--0.07514218) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dr = 304.533800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02300971--0.02296177) × cos(-0.07509438) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.997181741805174 × 6371000     		do = 304.564971405333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02300971--0.02296177) × cos(-0.07514218) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.997178154527301 × 6371000     		du = 304.563875758334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07509438)-sin(-0.07514218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997181741805174-0.997178154527301)×R²
    abs(-0.02296177--0.02300971)×3.58727787241886e-06×R²
    4.79399999999998e-05×3.58727787241886e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×3.58727787241886e-06×40589641000000     		ar = 92750.1612758396m²