Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65284 / 66308
↖ ↑ ↗
← S  2.119877°
W  0.692139°		 ← 305.22 m → S  2.119877°
W  0.689392°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  2.122622°
W  0.692139°		 ← 305.22 m →
93 163 m²		 S  2.122622°
W  0.689392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498081207275391 y=0.505893707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498081207275391 × 217)
    floor (0.498081207275391 × 131072)
    floor (65284.5)     		tx = 65284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505893707275391 × 217)
    floor (0.505893707275391 × 131072)
    floor (66308.5)     		ty = 66308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65284 / 66308 ti = "17/65284/66308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65284/66308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65284 ÷ 217
    65284 ÷ 131072     		x = 0.498077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66308 ÷ 217
    66308 ÷ 131072     		y = 0.505889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.00384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01208010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505889892578125 × 2 - 1) × π
    -0.01177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0370072865066833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01208010} λ = -0.01208010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0370072865066833))-π/2
    2×atan(0.963669113542035)-π/2
    2×0.766898742276224-π/2
    1.53379748455245-1.57079632675     		φ = -0.03699884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01208010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.692139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03699884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.119877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65284 KachelY 66308 -0.01208010 -0.03699884 -0.692139 -2.119877
    Oben rechts KachelX + 1 65285 KachelY 66308 -0.01203216 -0.03699884 -0.689392 -2.119877
    Unten links KachelX 65284 KachelY + 1 66309 -0.01208010 -0.03704675 -0.692139 -2.122622
    Unten rechts KachelX + 1 65285 KachelY + 1 66309 -0.01203216 -0.03704675 -0.689392 -2.122622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03699884--0.03704675) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03699884--0.03704675) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01208010--0.01203216) × cos(-0.03699884) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999315620996014 × 6371000     		do = 305.216713036266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01208010--0.01203216) × cos(-0.03704675) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99931384763909 × 6371000     		du = 305.216171407415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03699884)-sin(-0.03704675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999315620996014-0.99931384763909)×R²
    abs(-0.01203216--0.01208010)×1.77335692386205e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.77335692386205e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.77335692386205e-06×40589641000000     		ar = 93162.621724999m²