Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65471 / 65727
↖ ↑ ↗
← S  0.524590°
W  0.178528°		 ← 305.41 m → S  0.524590°
W  0.175781°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.527336°
W  0.178528°		 ← 305.41 m →
93 261 m²		 S  0.527336°
W  0.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499507904052734 y=0.501461029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499507904052734 × 217)
    floor (0.499507904052734 × 131072)
    floor (65471.5)     		tx = 65471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501461029052734 × 217)
    floor (0.501461029052734 × 131072)
    floor (65727.5)     		ty = 65727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65471 / 65727 ti = "17/65471/65727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65471/65727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65471 ÷ 217
    65471 ÷ 131072     		x = 0.499504089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65727 ÷ 217
    65727 ÷ 131072     		y = 0.501457214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499504089355469 × 2 - 1) × π
    -0.0009918212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00311590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501457214355469 × 2 - 1) × π
    -0.0029144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00915594782743073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00311590} λ = -0.00311590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00915594782743073))-π/2
    2×atan(0.990885840229206)-π/2
    2×0.780820253445371-π/2
    1.56164050689074-1.57079632675     		φ = -0.00915582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00311590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.178528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00915582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.524590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65471 KachelY 65727 -0.00311590 -0.00915582 -0.178528 -0.524590
    Oben rechts KachelX + 1 65472 KachelY 65727 -0.00306796 -0.00915582 -0.175781 -0.524590
    Unten links KachelX 65471 KachelY + 1 65728 -0.00311590 -0.00920375 -0.178528 -0.527336
    Unten rechts KachelX + 1 65472 KachelY + 1 65728 -0.00306796 -0.00920375 -0.175781 -0.527336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00915582--0.00920375) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00915582--0.00920375) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00311590--0.00306796) × cos(-0.00915582) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.999958085772867 × 6371000     		do = 305.412938316163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00311590--0.00306796) × cos(-0.00920375) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.999957645791952 × 6371000     		du = 305.412803934666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00915582)-sin(-0.00920375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999958085772867-0.999957645791952)×R²
    abs(-0.00306796--0.00311590)×4.39980915589722e-07×R²
    4.79400000000002e-05×4.39980915589722e-07×6371000²
    4.79400000000002e-05×4.39980915589722e-07×40589641000000     		ar = 93261.4943328391m²