Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65488 / 65744
↖ ↑ ↗
← S  0.571280°
W  0.131836°		 ← 305.41 m → S  0.571280°
W  0.129089°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.574026°
W  0.131836°		 ← 305.41 m →
93 261 m²		 S  0.574026°
W  0.129089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499637603759766 y=0.501590728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499637603759766 × 217)
    floor (0.499637603759766 × 131072)
    floor (65488.5)     		tx = 65488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501590728759766 × 217)
    floor (0.501590728759766 × 131072)
    floor (65744.5)     		ty = 65744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65488 / 65744 ti = "17/65488/65744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65488/65744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65488 ÷ 217
    65488 ÷ 131072     		x = 0.4996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65744 ÷ 217
    65744 ÷ 131072     		y = 0.5015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00230097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5015869140625 × 2 - 1) × π
    -0.003173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00230097} λ = -0.00230097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00997087512097168))-π/2
    2×atan(0.990078669250721)-π/2
    2×0.780412808442239-π/2
    1.56082561688448-1.57079632675     		φ = -0.00997071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00230097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00997071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.571280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65488 KachelY 65744 -0.00230097 -0.00997071 -0.131836 -0.571280
    Oben rechts KachelX + 1 65489 KachelY 65744 -0.00225303 -0.00997071 -0.129089 -0.571280
    Unten links KachelX 65488 KachelY + 1 65745 -0.00230097 -0.01001864 -0.131836 -0.574026
    Unten rechts KachelX + 1 65489 KachelY + 1 65745 -0.00225303 -0.01001864 -0.129089 -0.574026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00997071--0.01001864) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00997071--0.01001864) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00230097--0.00225303) × cos(-0.00997071) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999950292882853 × 6371000     		do = 305.410558166961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00230097--0.00225303) × cos(-0.01001864) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999949813846056 × 6371000     		du = 305.410411856793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00997071)-sin(-0.01001864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999950292882853-0.999949813846056)×R²
    abs(-0.00225303--0.00230097)×4.79036797118582e-07×R²
    4.79399999999998e-05×4.79036797118582e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×4.79036797118582e-07×40589641000000     		ar = 93260.7657043629m²