Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65524 / 65524
↖ ↑ ↗
← N  0.032959°
W  0.032959°		 ← 305.36 m → N  0.032959°
W  0.030213°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.030213°
W  0.032959°		 ← 305.36 m →
93 246 m²		 N  0.030213°
W  0.030213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499912261962891 y=0.499912261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499912261962891 × 217)
    floor (0.499912261962891 × 131072)
    floor (65524.5)     		tx = 65524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499912261962891 × 217)
    floor (0.499912261962891 × 131072)
    floor (65524.5)     		ty = 65524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65524 / 65524 ti = "17/65524/65524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65524/65524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65524 ÷ 217
    65524 ÷ 131072     		x = 0.499908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65524 ÷ 217
    65524 ÷ 131072     		y = 0.499908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.00018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00057524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499908447265625 × 2 - 1) × π
    0.00018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.000575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00057524} λ = -0.00057524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000575242795440674))-π/2
    2×atan(1.00057540827931)-π/2
    2×0.785685784779306-π/2
    1.57137156955861-1.57079632675     		φ = 0.00057524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00057524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00057524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.032959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65524 KachelY 65524 -0.00057524 0.00057524 -0.032959 0.032959
    Oben rechts KachelX + 1 65525 KachelY 65524 -0.00052731 0.00057524 -0.030213 0.032959
    Unten links KachelX 65524 KachelY + 1 65525 -0.00057524 0.00052731 -0.032959 0.030213
    Unten rechts KachelX + 1 65525 KachelY + 1 65525 -0.00052731 0.00052731 -0.030213 0.030213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00057524-0.00052731) × R
    4.793e-05 × 6371000     		dl = 305.36203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00057524-0.00052731) × R
    4.793e-05 × 6371000     		dr = 305.36203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00057524--0.00052731) × cos(0.00057524) × R
    4.793e-05 × 0.999999834549476 × 6371000     		do = 305.361979477692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00057524--0.00052731) × cos(0.00052731) × R
    4.793e-05 × 0.999999860972085 × 6371000     		du = 305.361987546153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00057524)-sin(0.00052731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999834549476-0.999999860972085)×R²
    abs(-0.00052731--0.00057524)×2.64226094337516e-08×R²
    4.793e-05×2.64226094337516e-08×6371000²
    4.793e-05×2.64226094337516e-08×40589641000000     		ar = 93245.9551878783m²