Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65534 / 65542
↖ ↑ ↗
← S  0.016479°
W  0.005493°		 ← 305.36 m → S  0.016479°
W  0.002747°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.019226°
W  0.005493°		 ← 305.36 m →
93 265 m²		 S  0.019226°
W  0.002747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499988555908203 y=0.500049591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499988555908203 × 217)
    floor (0.499988555908203 × 131072)
    floor (65534.5)     		tx = 65534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500049591064453 × 217)
    floor (0.500049591064453 × 131072)
    floor (65542.5)     		ty = 65542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65534 / 65542 ti = "17/65534/65542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65534/65542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65534 ÷ 217
    65534 ÷ 131072     		x = 0.499984741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65542 ÷ 217
    65542 ÷ 131072     		y = 0.500045776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499984741210938 × 2 - 1) × π
    -3.0517578125e-05 × 3.1415926535     		Λ = -0.00009587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500045776367188 × 2 - 1) × π
    -9.1552734375e-05 × 3.1415926535     		Φ = -0.000287621397720337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00009587} λ = -0.00009587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.000287621397720337))-π/2
    2×atan(0.999712419961349)-π/2
    2×0.785254352700571-π/2
    1.57050870540114-1.57079632675     		φ = -0.00028762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00009587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.005493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00028762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.016479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65534 KachelY 65542 -0.00009587 -0.00028762 -0.005493 -0.016479
    Oben rechts KachelX + 1 65535 KachelY 65542 -0.00004794 -0.00028762 -0.002747 -0.016479
    Unten links KachelX 65534 KachelY + 1 65543 -0.00009587 -0.00033556 -0.005493 -0.019226
    Unten rechts KachelX + 1 65535 KachelY + 1 65543 -0.00004794 -0.00033556 -0.002747 -0.019226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00028762--0.00033556) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00028762--0.00033556) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00009587--0.00004794) × cos(-0.00028762) × R
    4.793e-05 × 0.999999958637368 × 6371000     		do = 305.362017369423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00009587--0.00004794) × cos(-0.00033556) × R
    4.793e-05 × 0.999999943699744 × 6371000     		du = 305.362012808039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00028762)-sin(-0.00033556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999958637368-0.999999943699744)×R²
    abs(-0.00004794--0.00009587)×1.49376243596677e-08×R²
    4.793e-05×1.49376243596677e-08×6371000²
    4.793e-05×1.49376243596677e-08×40589641000000     		ar = 93265.4194442291m²