Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65543 / 65533
↖ ↑ ↗
← N  0.008240°
E  0.019226°		 ← 305.43 m → N  0.008240°
E  0.021973°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.005493°
E  0.019226°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 N  0.005493°
E  0.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500057220458984 y=0.499980926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500057220458984 × 217)
    floor (0.500057220458984 × 131072)
    floor (65543.5)     		tx = 65543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499980926513672 × 217)
    floor (0.499980926513672 × 131072)
    floor (65533.5)     		ty = 65533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65543 / 65533 ti = "17/65543/65533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65543/65533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65543 ÷ 217
    65543 ÷ 131072     		x = 0.500053405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65533 ÷ 217
    65533 ÷ 131072     		y = 0.499977111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500053405761719 × 2 - 1) × π
    0.0001068115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00033556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499977111816406 × 2 - 1) × π
    4.57763671875e-05 × 3.1415926535     		Φ = 0.000143810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00033556} λ = 0.00033556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000143810698860168))-π/2
    2×atan(1.00014382104011)-π/2
    2×0.785470068746631-π/2
    1.57094013749326-1.57079632675     		φ = 0.00014381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00033556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.019226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00014381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.008240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65543 KachelY 65533 0.00033556 0.00014381 0.019226 0.008240
    Oben rechts KachelX + 1 65544 KachelY 65533 0.00038350 0.00014381 0.021973 0.008240
    Unten links KachelX 65543 KachelY + 1 65534 0.00033556 0.00009587 0.019226 0.005493
    Unten rechts KachelX + 1 65544 KachelY + 1 65534 0.00038350 0.00009587 0.021973 0.005493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00014381-0.00009587) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00014381-0.00009587) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00033556-0.00038350) × cos(0.00014381) × R
    4.794e-05 × 0.999999989659342 × 6371000     		do = 305.425736841697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00033556-0.00038350) × cos(0.00009587) × R
    4.794e-05 × 0.999999995404472 × 6371000     		du = 305.425738596407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00014381)-sin(0.00009587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999989659342-0.999999995404472)×R²
    abs(0.00038350-0.00033556)×5.7451295942812e-09×R²
    4.794e-05×5.7451295942812e-09×6371000²
    4.794e-05×5.7451295942812e-09×40589641000000     		ar = 93284.8819757534m²