Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65551 / 65555
↖ ↑ ↗
← S  0.052185°
E  0.041199°		 ← 305.43 m → S  0.052185°
E  0.043945°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.054932°
E  0.041199°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 S  0.054932°
E  0.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500118255615234 y=0.500148773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500118255615234 × 217)
    floor (0.500118255615234 × 131072)
    floor (65551.5)     		tx = 65551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500148773193359 × 217)
    floor (0.500148773193359 × 131072)
    floor (65555.5)     		ty = 65555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65551 / 65555 ti = "17/65551/65555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65551/65555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65551 ÷ 217
    65551 ÷ 131072     		x = 0.500114440917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65555 ÷ 217
    65555 ÷ 131072     		y = 0.500144958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500114440917969 × 2 - 1) × π
    0.0002288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00071905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500144958496094 × 2 - 1) × π
    -0.0002899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.000910801092781067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00071905} λ = 0.00071905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.000910801092781067))-π/2
    2×atan(0.999089613560636)-π/2
    2×0.784942762914021-π/2
    1.56988552582804-1.57079632675     		φ = -0.00091080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00071905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.041199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00091080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.052185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65551 KachelY 65555 0.00071905 -0.00091080 0.041199 -0.052185
    Oben rechts KachelX + 1 65552 KachelY 65555 0.00076699 -0.00091080 0.043945 -0.052185
    Unten links KachelX 65551 KachelY + 1 65556 0.00071905 -0.00095874 0.041199 -0.054932
    Unten rechts KachelX + 1 65552 KachelY + 1 65556 0.00076699 -0.00095874 0.043945 -0.054932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00091080--0.00095874) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00091080--0.00095874) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00071905-0.00076699) × cos(-0.00091080) × R
    4.79399999999999e-05 × 0.999999585221709 × 6371000     		do = 305.425613316033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00071905-0.00076699) × cos(-0.00095874) × R
    4.79399999999999e-05 × 0.999999540408841 × 6371000     		du = 305.42559962903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00091080)-sin(-0.00095874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999585221709-0.999999540408841)×R²
    abs(0.00076699-0.00071905)×4.48128671948211e-08×R²
    4.79399999999999e-05×4.48128671948211e-08×6371000²
    4.79399999999999e-05×4.48128671948211e-08×40589641000000     		ar = 93284.8418896875m²