Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65553 / 65521
↖ ↑ ↗
← N  0.041199°
E  0.046692°		 ← 305.36 m → N  0.041199°
E  0.049438°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.038452°
E  0.046692°		 ← 305.36 m →
93 246 m²		 N  0.038452°
E  0.049438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500133514404297 y=0.499889373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500133514404297 × 217)
    floor (0.500133514404297 × 131072)
    floor (65553.5)     		tx = 65553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499889373779297 × 217)
    floor (0.499889373779297 × 131072)
    floor (65521.5)     		ty = 65521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65553 / 65521 ti = "17/65553/65521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65553/65521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65553 ÷ 217
    65553 ÷ 131072     		x = 0.500129699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65521 ÷ 217
    65521 ÷ 131072     		y = 0.499885559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500129699707031 × 2 - 1) × π
    0.0002593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00081493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499885559082031 × 2 - 1) × π
    0.0002288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.000719053494300842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00081493} λ = 0.00081493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000719053494300842))-π/2
    2×atan(1.00071931207524)-π/2
    2×0.785757690113617-π/2
    1.57151538022723-1.57079632675     		φ = 0.00071905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00081493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.046692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00071905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.041199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65553 KachelY 65521 0.00081493 0.00071905 0.046692 0.041199
    Oben rechts KachelX + 1 65554 KachelY 65521 0.00086286 0.00071905 0.049438 0.041199
    Unten links KachelX 65553 KachelY + 1 65522 0.00081493 0.00067112 0.046692 0.038452
    Unten rechts KachelX + 1 65554 KachelY + 1 65522 0.00086286 0.00067112 0.049438 0.038452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00071905-0.00067112) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.36203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00071905-0.00067112) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.36203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00081493-0.00086286) × cos(0.00071905) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.99999974148356 × 6371000     		do = 305.361951058895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00081493-0.00086286) × cos(0.00067112) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.999999774798981 × 6371000     		du = 305.36196123216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00071905)-sin(0.00067112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999974148356-0.999999774798981)×R²
    abs(0.00086286-0.00081493)×3.3315421421598e-08×R²
    4.79300000000001e-05×3.3315421421598e-08×6371000²
    4.79300000000001e-05×3.3315421421598e-08×40589641000000     		ar = 93245.9468312205m²