Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65557 / 65557
↖ ↑ ↗
← S  0.057678°
E  0.057678°		 ← 305.43 m → S  0.057678°
E  0.060425°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.060425°
E  0.057678°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 S  0.060425°
E  0.060425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500164031982422 y=0.500164031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500164031982422 × 217)
    floor (0.500164031982422 × 131072)
    floor (65557.5)     		tx = 65557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500164031982422 × 217)
    floor (0.500164031982422 × 131072)
    floor (65557.5)     		ty = 65557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65557 / 65557 ti = "17/65557/65557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65557/65557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65557 ÷ 217
    65557 ÷ 131072     		x = 0.500160217285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65557 ÷ 217
    65557 ÷ 131072     		y = 0.500160217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500160217285156 × 2 - 1) × π
    0.0003204345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00100667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500160217285156 × 2 - 1) × π
    -0.0003204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00100667489202118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00100667} λ = 0.00100667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00100667489202118))-π/2
    2×atan(0.998993831635164)-π/2
    2×0.784894826036451-π/2
    1.5697896520729-1.57079632675     		φ = -0.00100667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00100667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.057678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00100667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.057678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65557 KachelY 65557 0.00100667 -0.00100667 0.057678 -0.057678
    Oben rechts KachelX + 1 65558 KachelY 65557 0.00105461 -0.00100667 0.060425 -0.057678
    Unten links KachelX 65557 KachelY + 1 65558 0.00100667 -0.00105461 0.057678 -0.060425
    Unten rechts KachelX + 1 65558 KachelY + 1 65558 0.00105461 -0.00105461 0.060425 -0.060425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00100667--0.00105461) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00100667--0.00105461) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00100667-0.00105461) × cos(-0.00100667) × R
    4.794e-05 × 0.999999493307798 × 6371000     		do = 305.425585243159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00100667-0.00105461) × cos(-0.00105461) × R
    4.794e-05 × 0.999999443898925 × 6371000     		du = 305.425570152418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00100667)-sin(-0.00105461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999493307798-0.999999443898925)×R²
    abs(0.00105461-0.00100667)×4.94088728819619e-08×R²
    4.794e-05×4.94088728819619e-08×6371000²
    4.794e-05×4.94088728819619e-08×40589641000000     		ar = 93284.8331011406m²