Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65559 / 65527
↖ ↑ ↗
← N  0.024719°
E  0.063171°		 ← 305.43 m → N  0.024719°
E  0.065918°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.021973°
E  0.063171°		 ← 305.43 m →
93 265 m²		 N  0.021973°
E  0.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500179290771484 y=0.499935150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500179290771484 × 217)
    floor (0.500179290771484 × 131072)
    floor (65559.5)     		tx = 65559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499935150146484 × 217)
    floor (0.499935150146484 × 131072)
    floor (65527.5)     		ty = 65527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65559 / 65527 ti = "17/65559/65527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65559/65527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65559 ÷ 217
    65559 ÷ 131072     		x = 0.500175476074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65527 ÷ 217
    65527 ÷ 131072     		y = 0.499931335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500175476074219 × 2 - 1) × π
    0.0003509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00110255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499931335449219 × 2 - 1) × π
    0.0001373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.000431432096580505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00110255} λ = 0.00110255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000431432096580505))-π/2
    2×atan(1.00043152517679)-π/2
    2×0.785613879439047-π/2
    1.57122775887809-1.57079632675     		φ = 0.00043143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00110255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.063171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00043143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.024719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65559 KachelY 65527 0.00110255 0.00043143 0.063171 0.024719
    Oben rechts KachelX + 1 65560 KachelY 65527 0.00115049 0.00043143 0.065918 0.024719
    Unten links KachelX 65559 KachelY + 1 65528 0.00110255 0.00038350 0.063171 0.021973
    Unten rechts KachelX + 1 65560 KachelY + 1 65528 0.00115049 0.00038350 0.065918 0.021973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00043143-0.00038350) × R
    4.793e-05 × 6371000     		dl = 305.36203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00043143-0.00038350) × R
    4.793e-05 × 6371000     		dr = 305.36203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00110255-0.00115049) × cos(0.00043143) × R
    4.794e-05 × 0.999999906934079 × 6371000     		do = 305.425711575272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00110255-0.00115049) × cos(0.00038350) × R
    4.794e-05 × 0.999999926463876 × 6371000     		du = 305.425717540175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00043143)-sin(0.00038350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999906934079-0.999999926463876)×R²
    abs(0.00115049-0.00110255)×1.95297968907937e-08×R²
    4.794e-05×1.95297968907937e-08×6371000²
    4.794e-05×1.95297968907937e-08×40589641000000     		ar = 93265.4162294018m²