Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65564 / 65532
↖ ↑ ↗
← N  0.010986°
E  0.076904°		 ← 305.43 m → N  0.010986°
E  0.079651°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.008240°
E  0.076904°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 N  0.008240°
E  0.079651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500217437744141 y=0.499973297119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500217437744141 × 217)
    floor (0.500217437744141 × 131072)
    floor (65564.5)     		tx = 65564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499973297119141 × 217)
    floor (0.499973297119141 × 131072)
    floor (65532.5)     		ty = 65532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65564 / 65532 ti = "17/65564/65532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65564/65532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65564 ÷ 217
    65564 ÷ 131072     		x = 0.500213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65532 ÷ 217
    65532 ÷ 131072     		y = 0.499969482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500213623046875 × 2 - 1) × π
    0.00042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00134223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499969482421875 × 2 - 1) × π
    6.103515625e-05 × 3.1415926535     		Φ = 0.000191747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00134223} λ = 0.00134223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000191747598480225))-π/2
    2×atan(1.00019176598323)-π/2
    2×0.785494037196101-π/2
    1.5709880743922-1.57079632675     		φ = 0.00019175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00134223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00019175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.010986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65564 KachelY 65532 0.00134223 0.00019175 0.076904 0.010986
    Oben rechts KachelX + 1 65565 KachelY 65532 0.00139017 0.00019175 0.079651 0.010986
    Unten links KachelX 65564 KachelY + 1 65533 0.00134223 0.00014381 0.076904 0.008240
    Unten rechts KachelX + 1 65565 KachelY + 1 65533 0.00139017 0.00014381 0.079651 0.008240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00019175-0.00014381) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00019175-0.00014381) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00134223-0.00139017) × cos(0.00019175) × R
    4.794e-05 × 0.999999981615969 × 6371000     		do = 305.425734385044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00134223-0.00139017) × cos(0.00014381) × R
    4.794e-05 × 0.999999989659342 × 6371000     		du = 305.425736841697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00019175)-sin(0.00014381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999981615969-0.999999989659342)×R²
    abs(0.00139017-0.00134223)×8.04337318971449e-09×R²
    4.794e-05×8.04337318971449e-09×6371000²
    4.794e-05×8.04337318971449e-09×40589641000000     		ar = 93284.8813326239m²