Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65576 / 65640
↖ ↑ ↗
← S  0.285644°
E  0.109864°		 ← 305.36 m → S  0.285644°
E  0.112610°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.288390°
E  0.109864°		 ← 305.36 m →
93 245 m²		 S  0.288390°
E  0.112610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500308990478516 y=0.500797271728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500308990478516 × 217)
    floor (0.500308990478516 × 131072)
    floor (65576.5)     		tx = 65576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500797271728516 × 217)
    floor (0.500797271728516 × 131072)
    floor (65640.5)     		ty = 65640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65576 / 65640 ti = "17/65576/65640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65576/65640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65576 ÷ 217
    65576 ÷ 131072     		x = 0.50030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65640 ÷ 217
    65640 ÷ 131072     		y = 0.50079345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50030517578125 × 2 - 1) × π
    0.0006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00191748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.0015869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00498543756048584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00191748} λ = 0.00191748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00498543756048584))-π/2
    2×atan(0.99502696910723)-π/2
    2×0.782905454943058-π/2
    1.56581090988612-1.57079632675     		φ = -0.00498542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00191748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.109864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00498542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.285644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65576 KachelY 65640 0.00191748 -0.00498542 0.109864 -0.285644
    Oben rechts KachelX + 1 65577 KachelY 65640 0.00196541 -0.00498542 0.112610 -0.285644
    Unten links KachelX 65576 KachelY + 1 65641 0.00191748 -0.00503335 0.109864 -0.288390
    Unten rechts KachelX + 1 65577 KachelY + 1 65641 0.00196541 -0.00503335 0.112610 -0.288390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00498542--0.00503335) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00498542--0.00503335) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00191748-0.00196541) × cos(-0.00498542) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999987572819451 × 6371000     		do = 305.358235210919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00191748-0.00196541) × cos(-0.00503335) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999987332720632 × 6371000     		du = 305.358161893857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00498542)-sin(-0.00503335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999987572819451-0.999987332720632)×R²
    abs(0.00196541-0.00191748)×2.40098818937717e-07×R²
    4.79299999999998e-05×2.40098818937717e-07×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.40098818937717e-07×40589641000000     		ar = 93244.7994049506m²