Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65632 / 65504
↖ ↑ ↗
← N  0.087891°
E  0.263672°		 ← 305.43 m → N  0.087891°
E  0.266418°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.085144°
E  0.263672°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 N  0.085144°
E  0.266418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500736236572266 y=0.499759674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500736236572266 × 217)
    floor (0.500736236572266 × 131072)
    floor (65632.5)     		tx = 65632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499759674072266 × 217)
    floor (0.499759674072266 × 131072)
    floor (65504.5)     		ty = 65504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65632 / 65504 ti = "17/65632/65504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65632/65504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65632 ÷ 217
    65632 ÷ 131072     		x = 0.500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65504 ÷ 217
    65504 ÷ 131072     		y = 0.499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500732421875 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499755859375 × 2 - 1) × π
    0.00048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0015339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00460194} λ = 0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0015339807878418))-π/2
    2×atan(1.0015351579382)-π/2
    2×0.786165153490569-π/2
    1.57233030698114-1.57079632675     		φ = 0.00153398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00153398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.087891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65632 KachelY 65504 0.00460194 0.00153398 0.263672 0.087891
    Oben rechts KachelX + 1 65633 KachelY 65504 0.00464988 0.00153398 0.266418 0.087891
    Unten links KachelX 65632 KachelY + 1 65505 0.00460194 0.00148604 0.263672 0.085144
    Unten rechts KachelX + 1 65633 KachelY + 1 65505 0.00464988 0.00148604 0.266418 0.085144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00153398-0.00148604) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00153398-0.00148604) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00460194-0.00464988) × cos(0.00153398) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.99999882345291 × 6371000     		do = 305.425380652239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00460194-0.00464988) × cos(0.00148604) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.999998895842762 × 6371000     		du = 305.425402761963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00153398)-sin(0.00148604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999882345291-0.999998895842762)×R²
    abs(0.00464988-0.00460194)×7.23898518906196e-08×R²
    4.79400000000007e-05×7.23898518906196e-08×6371000²
    4.79400000000007e-05×7.23898518906196e-08×40589641000000     		ar = 93284.7762947963m²