Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65665 / 65665
↖ ↑ ↗
← S  0.354307°
E  0.354309°		 ← 305.42 m → S  0.354307°
E  0.357056°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.357054°
E  0.354309°		 ← 305.42 m →
93 283 m²		 S  0.357054°
E  0.357056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500988006591797 y=0.500988006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500988006591797 × 217)
    floor (0.500988006591797 × 131072)
    floor (65665.5)     		tx = 65665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500988006591797 × 217)
    floor (0.500988006591797 × 131072)
    floor (65665.5)     		ty = 65665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65665 / 65665 ti = "17/65665/65665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65665/65665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65665 ÷ 217
    65665 ÷ 131072     		x = 0.500984191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65665 ÷ 217
    65665 ÷ 131072     		y = 0.500984191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500984191894531 × 2 - 1) × π
    0.0019683837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00618386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500984191894531 × 2 - 1) × π
    -0.0019683837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00618386005098724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00618386} λ = 0.00618386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00618386005098724))-π/2
    2×atan(0.993835220660502)-π/2
    2×0.782306253077731-π/2
    1.56461250615546-1.57079632675     		φ = -0.00618382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00618386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.354309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00618382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.354307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65665 KachelY 65665 0.00618386 -0.00618382 0.354309 -0.354307
    Oben rechts KachelX + 1 65666 KachelY 65665 0.00623180 -0.00618382 0.357056 -0.354307
    Unten links KachelX 65665 KachelY + 1 65666 0.00618386 -0.00623176 0.354309 -0.357054
    Unten rechts KachelX + 1 65666 KachelY + 1 65666 0.00623180 -0.00623176 0.357056 -0.357054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00618382--0.00623176) × R
    4.79400000000007e-05 × 6371000     		dl = 305.425740000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00618382--0.00623176) × R
    4.79400000000007e-05 × 6371000     		dr = 305.425740000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00618386-0.00623180) × cos(-0.00618382) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999980880246032 × 6371000     		do = 305.419900334994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00618386-0.00623180) × cos(-0.00623176) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99998058264649 × 6371000     		du = 305.419809440434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00618382)-sin(-0.00623176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999980880246032-0.99998058264649)×R²
    abs(0.00623180-0.00618386)×2.97599541121407e-07×R²
    4.79399999999998e-05×2.97599541121407e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.97599541121407e-07×40589641000000     		ar = 93283.0852076402m²