Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65872 / 65872
↖ ↑ ↗
← S  0.922812°
E  0.922852°		 ← 305.39 m → S  0.922812°
E  0.925598°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.925558°
E  0.922852°		 ← 305.39 m →
93 253 m²		 S  0.925558°
E  0.925598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502567291259766 y=0.502567291259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502567291259766 × 217)
    floor (0.502567291259766 × 131072)
    floor (65872.5)     		tx = 65872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502567291259766 × 217)
    floor (0.502567291259766 × 131072)
    floor (65872.5)     		ty = 65872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65872 / 65872 ti = "17/65872/65872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65872/65872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65872 ÷ 217
    65872 ÷ 131072     		x = 0.5025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65872 ÷ 217
    65872 ÷ 131072     		y = 0.5025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5025634765625 × 2 - 1) × π
    0.005126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01610680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0161067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01610680} λ = 0.01610680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0161067982723389))-π/2
    2×atan(0.984022222569957)-π/2
    2×0.777345112452844-π/2
    1.55469022490569-1.57079632675     		φ = -0.01610610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01610680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01610610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.922812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65872 KachelY 65872 0.01610680 -0.01610610 0.922852 -0.922812
    Oben rechts KachelX + 1 65873 KachelY 65872 0.01615474 -0.01610610 0.925598 -0.922812
    Unten links KachelX 65872 KachelY + 1 65873 0.01610680 -0.01615403 0.922852 -0.925558
    Unten rechts KachelX + 1 65873 KachelY + 1 65873 0.01615474 -0.01615403 0.925598 -0.925558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01610610--0.01615403) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01610610--0.01615403) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01610680-0.01615474) × cos(-0.01610610) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999870299575192 × 6371000     		do = 305.386126151773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01610680-0.01615474) × cos(-0.01615403) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999869526494701 × 6371000     		du = 305.385890033092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01610610)-sin(-0.01615403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999870299575192-0.999869526494701)×R²
    abs(0.01615474-0.01610680)×7.73080491178746e-07×R²
    4.79399999999998e-05×7.73080491178746e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×7.73080491178746e-07×40589641000000     		ar = 93253.2913825527m²