Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65888 / 65760
↖ ↑ ↗
← S  0.615223°
E  0.966797°		 ← 305.41 m → S  0.615223°
E  0.969544°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.617969°
E  0.966797°		 ← 305.41 m →
93 260 m²		 S  0.617969°
E  0.969544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502689361572266 y=0.501712799072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502689361572266 × 217)
    floor (0.502689361572266 × 131072)
    floor (65888.5)     		tx = 65888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501712799072266 × 217)
    floor (0.501712799072266 × 131072)
    floor (65760.5)     		ty = 65760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65888 / 65760 ti = "17/65888/65760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65888/65760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65888 ÷ 217
    65888 ÷ 131072     		x = 0.502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65760 ÷ 217
    65760 ÷ 131072     		y = 0.501708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502685546875 × 2 - 1) × π
    0.00537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01687379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501708984375 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0107378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01687379} λ = 0.01687379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0107378655148926))-π/2
    2×atan(0.989319579566641)-π/2
    2×0.78002933381159-π/2
    1.56005866762318-1.57079632675     		φ = -0.01073766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01687379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01073766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.615223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65888 KachelY 65760 0.01687379 -0.01073766 0.966797 -0.615223
    Oben rechts KachelX + 1 65889 KachelY 65760 0.01692173 -0.01073766 0.969544 -0.615223
    Unten links KachelX 65888 KachelY + 1 65761 0.01687379 -0.01078559 0.966797 -0.617969
    Unten rechts KachelX + 1 65889 KachelY + 1 65761 0.01692173 -0.01078559 0.969544 -0.617969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01073766--0.01078559) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01073766--0.01078559) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01687379-0.01692173) × cos(-0.01073766) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999942351882755 × 6371000     		do = 305.408132781129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01687379-0.01692173) × cos(-0.01078559) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999941836088025 × 6371000     		du = 305.407975244142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01073766)-sin(-0.01078559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999942351882755-0.999941836088025)×R²
    abs(0.01692173-0.01687379)×5.15794730149288e-07×R²
    4.79399999999998e-05×5.15794730149288e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.15794730149288e-07×40589641000000     		ar = 93260.0233694998m²