Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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7 / 66 / 66
↖ ↑ ↗
← S  5.615986°
E  5.625000°		 ← 311.235 km → S  5.615986°
E  8.437500°		 →
↑
310.365 km
↓
↑
310.365 km
↓
S  8.407168°
E  5.625000°		 ← 309.375 km →
96 326.9 km²		 S  8.407168°
E  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51953125 y=0.51953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51953125 × 27)
    floor (0.51953125 × 128)
    floor (66.5)     		tx = 66
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51953125 × 27)
    floor (0.51953125 × 128)
    floor (66.5)     		ty = 66
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 66 / 66 ti = "7/66/66"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/66/66.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66 ÷ 27
    66 ÷ 128     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66 ÷ 27
    66 ÷ 128     		y = 0.515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515625 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Φ = -0.098174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.098174770421875))-π/2
    2×atan(0.906490462188372)-π/2
    2×0.736389441754059-π/2
    1.47277888350812-1.57079632675     		φ = -0.09801744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09801744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.615986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66 KachelY 66 0.09817477 -0.09801744 5.625000 -5.615986
    Oben rechts KachelX + 1 67 KachelY 66 0.14726216 -0.09801744 8.437500 -5.615986
    Unten links KachelX 66 KachelY + 1 67 0.09817477 -0.14673277 5.625000 -8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 67 KachelY + 1 67 0.14726216 -0.14673277 8.437500 -8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09801744--0.14673277) × R
    0.04871533 × 6371000     		dl = 310365.36743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09801744--0.14673277) × R
    0.04871533 × 6371000     		dr = 310365.36743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.14726216) × cos(-0.09801744) × R
    0.04908739 × 0.995200135433612 × 6371000     		do = 311234.672388822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.14726216) × cos(-0.14673277) × R
    0.04908739 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 309375.118318439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09801744)-sin(-0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995200135433612-0.989254048358907)×R²
    abs(0.14726216-0.09817477)×0.00594608707470523×R²
    0.04908739×0.00594608707470523×6371000²
    0.04908739×0.00594608707470523×40589641000000     		ar = 96326943740.4274m²