Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66040 / 66072
↖ ↑ ↗
← S  1.472006°
E  1.384277°		 ← 305.26 m → S  1.472006°
E  1.387024°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.474752°
E  1.384277°		 ← 305.26 m →
93 196 m²		 S  1.474752°
E  1.387024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503849029541016 y=0.504093170166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503849029541016 × 217)
    floor (0.503849029541016 × 131072)
    floor (66040.5)     		tx = 66040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504093170166016 × 217)
    floor (0.504093170166016 × 131072)
    floor (66072.5)     		ty = 66072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66040 / 66072 ti = "17/66040/66072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66040/66072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66040 ÷ 217
    66040 ÷ 131072     		x = 0.50384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66072 ÷ 217
    66072 ÷ 131072     		y = 0.50408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50384521484375 × 2 - 1) × π
    0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50408935546875 × 2 - 1) × π
    -0.0081787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0256941781963501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02416020} λ = 0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0256941781963501))-π/2
    2×atan(0.974633108091165)-π/2
    2×0.772552487654332-π/2
    1.54510497530866-1.57079632675     		φ = -0.02569135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02569135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.472006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66040 KachelY 66072 0.02416020 -0.02569135 1.384277 -1.472006
    Oben rechts KachelX + 1 66041 KachelY 66072 0.02420813 -0.02569135 1.387024 -1.472006
    Unten links KachelX 66040 KachelY + 1 66073 0.02416020 -0.02573927 1.384277 -1.474752
    Unten rechts KachelX + 1 66041 KachelY + 1 66073 0.02420813 -0.02573927 1.387024 -1.474752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02569135--0.02573927) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02569135--0.02573927) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02416020-0.02420813) × cos(-0.02569135) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99966999541969 × 6371000     		do = 305.261259131457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02416020-0.02420813) × cos(-0.02573927) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999668763277843 × 6371000     		du = 305.260882882122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02569135)-sin(-0.02573927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99966999541969-0.999668763277843)×R²
    abs(0.02420813-0.02416020)×1.23214184677423e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.23214184677423e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.23214184677423e-06×40589641000000     		ar = 93195.6921576054m²