Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66050 / 65026
↖ ↑ ↗
← N  1.400617°
E  1.411743°		 ← 305.27 m → N  1.400617°
E  1.414490°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.397871°
E  1.411743°		 ← 305.27 m →
93 199 m²		 N  1.397871°
E  1.414490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503925323486328 y=0.496112823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503925323486328 × 217)
    floor (0.503925323486328 × 131072)
    floor (66050.5)     		tx = 66050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496112823486328 × 217)
    floor (0.496112823486328 × 131072)
    floor (65026.5)     		ty = 65026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66050 / 65026 ti = "17/66050/65026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66050/65026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66050 ÷ 217
    66050 ÷ 131072     		x = 0.503921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65026 ÷ 217
    65026 ÷ 131072     		y = 0.496109008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503921508789062 × 2 - 1) × π
    0.007843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02463957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496109008789062 × 2 - 1) × π
    0.007781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0244478188062286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02463957} λ = 0.02463957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0244478188062286))-π/2
    2×atan(1.0247491170798)-π/2
    2×0.797620855285842-π/2
    1.59524171057168-1.57079632675     		φ = 0.02444538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02463957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02444538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.400617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66050 KachelY 65026 0.02463957 0.02444538 1.411743 1.400617
    Oben rechts KachelX + 1 66051 KachelY 65026 0.02468750 0.02444538 1.414490 1.400617
    Unten links KachelX 66050 KachelY + 1 65027 0.02463957 0.02439746 1.411743 1.397871
    Unten rechts KachelX + 1 66051 KachelY + 1 65027 0.02468750 0.02439746 1.414490 1.397871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02444538-0.02439746) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02444538-0.02439746) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02463957-0.02468750) × cos(0.02444538) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999701226577106 × 6371000     		do = 305.270795941085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02463957-0.02468750) × cos(0.02439746) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99970239673523 × 6371000     		du = 305.271153262945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02444538)-sin(0.02439746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999701226577106-0.99970239673523)×R²
    abs(0.02468750-0.02463957)×1.17015812339805e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.17015812339805e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.17015812339805e-06×40589641000000     		ar = 93198.715708592m²