Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66054 / 66046
↖ ↑ ↗
← S  1.400617°
E  1.422729°		 ← 305.33 m → S  1.400617°
E  1.425476°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.403363°
E  1.422729°		 ← 305.33 m →
93 238 m²		 S  1.403363°
E  1.425476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503955841064453 y=0.503894805908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503955841064453 × 217)
    floor (0.503955841064453 × 131072)
    floor (66054.5)     		tx = 66054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503894805908203 × 217)
    floor (0.503894805908203 × 131072)
    floor (66046.5)     		ty = 66046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66054 / 66046 ti = "17/66054/66046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66054/66046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66054 ÷ 217
    66054 ÷ 131072     		x = 0.503952026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66046 ÷ 217
    66046 ÷ 131072     		y = 0.503890991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503952026367188 × 2 - 1) × π
    0.007904052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02483131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503890991210938 × 2 - 1) × π
    -0.007781982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0244478188062286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02483131} λ = 0.02483131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0244478188062286))-π/2
    2×atan(0.975848608535206)-π/2
    2×0.773175471509055-π/2
    1.54635094301811-1.57079632675     		φ = -0.02444538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02483131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.422729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02444538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.400617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66054 KachelY 66046 0.02483131 -0.02444538 1.422729 -1.400617
    Oben rechts KachelX + 1 66055 KachelY 66046 0.02487925 -0.02444538 1.425476 -1.400617
    Unten links KachelX 66054 KachelY + 1 66047 0.02483131 -0.02449331 1.422729 -1.403363
    Unten rechts KachelX + 1 66055 KachelY + 1 66047 0.02487925 -0.02449331 1.425476 -1.403363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02444538--0.02449331) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02444538--0.02449331) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02483131-0.02487925) × cos(-0.02444538) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999701226577106 × 6371000     		do = 305.334486906219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02483131-0.02487925) × cos(-0.02449331) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999700053878434 × 6371000     		du = 305.334128733859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02444538)-sin(-0.02449331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999701226577106-0.999700053878434)×R²
    abs(0.02487925-0.02483131)×1.1726986721694e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.1726986721694e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.1726986721694e-06×40589641000000     		ar = 93237.5040824292m²