Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66056 / 66040
↖ ↑ ↗
← S  1.384143°
E  1.428223°		 ← 305.27 m → S  1.384143°
E  1.430969°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.386888°
E  1.428223°		 ← 305.27 m →
93 199 m²		 S  1.386888°
E  1.430969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503971099853516 y=0.503849029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503971099853516 × 217)
    floor (0.503971099853516 × 131072)
    floor (66056.5)     		tx = 66056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503849029541016 × 217)
    floor (0.503849029541016 × 131072)
    floor (66040.5)     		ty = 66040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66056 / 66040 ti = "17/66056/66040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66056/66040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66056 ÷ 217
    66056 ÷ 131072     		x = 0.50396728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66040 ÷ 217
    66040 ÷ 131072     		y = 0.50384521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50396728515625 × 2 - 1) × π
    0.0079345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02492719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50384521484375 × 2 - 1) × π
    -0.0076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0241601974085083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02492719} λ = 0.02492719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0241601974085083))-π/2
    2×atan(0.976129323843886)-π/2
    2×0.773319239744473-π/2
    1.54663847948895-1.57079632675     		φ = -0.02415785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02492719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02415785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.384143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66056 KachelY 66040 0.02492719 -0.02415785 1.428223 -1.384143
    Oben rechts KachelX + 1 66057 KachelY 66040 0.02497512 -0.02415785 1.430969 -1.384143
    Unten links KachelX 66056 KachelY + 1 66041 0.02492719 -0.02420577 1.428223 -1.386888
    Unten rechts KachelX + 1 66057 KachelY + 1 66041 0.02497512 -0.02420577 1.430969 -1.386888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02415785--0.02420577) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02415785--0.02420577) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02492719-0.02497512) × cos(-0.02415785) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999708213332703 × 6371000     		do = 305.272929430957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02492719-0.02497512) × cos(-0.02420577) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9997070546533 × 6371000     		du = 305.272575614263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02415785)-sin(-0.02420577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999708213332703-0.9997070546533)×R²
    abs(0.02497512-0.02492719)×1.15867940253533e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.15867940253533e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.15867940253533e-06×40589641000000     		ar = 93199.2585047616m²