Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66066 / 66066
↖ ↑ ↗
← S  1.455532°
E  1.455689°		 ← 305.26 m → S  1.455532°
E  1.458435°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.458278°
E  1.455689°		 ← 305.26 m →
93 216 m²		 S  1.458278°
E  1.458435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504047393798828 y=0.504047393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504047393798828 × 217)
    floor (0.504047393798828 × 131072)
    floor (66066.5)     		tx = 66066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504047393798828 × 217)
    floor (0.504047393798828 × 131072)
    floor (66066.5)     		ty = 66066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66066 / 66066 ti = "17/66066/66066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66066/66066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66066 ÷ 217
    66066 ÷ 131072     		x = 0.504043579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66066 ÷ 217
    66066 ÷ 131072     		y = 0.504043579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504043579101562 × 2 - 1) × π
    0.008087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02540656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504043579101562 × 2 - 1) × π
    -0.008087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0254065567986298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02540656} λ = 0.02540656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0254065567986298))-π/2
    2×atan(0.974913473745627)-π/2
    2×0.77269625142412-π/2
    1.54539250284824-1.57079632675     		φ = -0.02540382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02540656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.455689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02540382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.455532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66066 KachelY 66066 0.02540656 -0.02540382 1.455689 -1.455532
    Oben rechts KachelX + 1 66067 KachelY 66066 0.02545449 -0.02540382 1.458435 -1.455532
    Unten links KachelX 66066 KachelY + 1 66067 0.02540656 -0.02545175 1.455689 -1.458278
    Unten rechts KachelX + 1 66067 KachelY + 1 66067 0.02545449 -0.02545175 1.458435 -1.458278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02540382--0.02545175) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02540382--0.02545175) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02540656-0.02545449) × cos(-0.02540382) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999677340317742 × 6371000     		do = 305.263501984415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02540656-0.02545449) × cos(-0.02545175) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999676121695338 × 6371000     		du = 305.263129863404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02540382)-sin(-0.02545175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999677340317742-0.999676121695338)×R²
    abs(0.02545449-0.02540656)×1.21862240376469e-06×R²
    4.79299999999981e-05×1.21862240376469e-06×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.21862240376469e-06×40589641000000     		ar = 93215.8258528982m²