Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66082 / 66082
↖ ↑ ↗
← S  1.499463°
E  1.499634°		 ← 305.26 m → S  1.499463°
E  1.502380°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.502208°
E  1.499634°		 ← 305.26 m →
93 195 m²		 S  1.502208°
E  1.502380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504169464111328 y=0.504169464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504169464111328 × 217)
    floor (0.504169464111328 × 131072)
    floor (66082.5)     		tx = 66082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504169464111328 × 217)
    floor (0.504169464111328 × 131072)
    floor (66082.5)     		ty = 66082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66082 / 66082 ti = "17/66082/66082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66082/66082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66082 ÷ 217
    66082 ÷ 131072     		x = 0.504165649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66082 ÷ 217
    66082 ÷ 131072     		y = 0.504165649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504165649414062 × 2 - 1) × π
    0.008331298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02617355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504165649414062 × 2 - 1) × π
    -0.008331298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0261735471925507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02617355} λ = 0.02617355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0261735471925507))-π/2
    2×atan(0.974166011161313)-π/2
    2×0.772312883737672-π/2
    1.54462576747534-1.57079632675     		φ = -0.02617056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02617355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.499634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02617056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.499463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66082 KachelY 66082 0.02617355 -0.02617056 1.499634 -1.499463
    Oben rechts KachelX + 1 66083 KachelY 66082 0.02622148 -0.02617056 1.502380 -1.499463
    Unten links KachelX 66082 KachelY + 1 66083 0.02617355 -0.02621848 1.499634 -1.502208
    Unten rechts KachelX + 1 66083 KachelY + 1 66083 0.02622148 -0.02621848 1.502380 -1.502208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02617056--0.02621848) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02617056--0.02621848) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02617355-0.02622148) × cos(-0.02617056) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999657570439429 × 6371000     		do = 305.25746501424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02617355-0.02622148) × cos(-0.02621848) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999656315341573 × 6371000     		du = 305.257081755011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02617056)-sin(-0.02621848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999657570439429-0.999656315341573)×R²
    abs(0.02622148-0.02617355)×1.25509785531275e-06×R²
    4.79299999999981e-05×1.25509785531275e-06×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.25509785531275e-06×40589641000000     		ar = 93194.5327499381m²