Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66096 / 66096
↖ ↑ ↗
← S  1.537901°
E  1.538086°		 ← 305.32 m → S  1.537901°
E  1.540832°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.540647°
E  1.538086°		 ← 305.32 m →
93 212 m²		 S  1.540647°
E  1.540832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504276275634766 y=0.504276275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504276275634766 × 217)
    floor (0.504276275634766 × 131072)
    floor (66096.5)     		tx = 66096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504276275634766 × 217)
    floor (0.504276275634766 × 131072)
    floor (66096.5)     		ty = 66096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66096 / 66096 ti = "17/66096/66096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66096/66096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66096 ÷ 217
    66096 ÷ 131072     		x = 0.5042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66096 ÷ 217
    66096 ÷ 131072     		y = 0.5042724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0268446637872314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02684466} λ = 0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0268446637872314))-π/2
    2×atan(0.973512451517141)-π/2
    2×0.771977443315994-π/2
    1.54395488663199-1.57079632675     		φ = -0.02684144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02684144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.537901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66096 KachelY 66096 0.02684466 -0.02684144 1.538086 -1.537901
    Oben rechts KachelX + 1 66097 KachelY 66096 0.02689260 -0.02684144 1.540832 -1.537901
    Unten links KachelX 66096 KachelY + 1 66097 0.02684466 -0.02688936 1.538086 -1.540647
    Unten rechts KachelX + 1 66097 KachelY + 1 66097 0.02689260 -0.02688936 1.540832 -1.540647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02684144--0.02688936) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02684144--0.02688936) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02684466-0.02689260) × cos(-0.02684144) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999639790176627 × 6371000     		do = 305.31572264814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02684466-0.02689260) × cos(-0.02688936) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999638502941516 × 6371000     		du = 305.315329493403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02684144)-sin(-0.02688936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999639790176627-0.999638502941516)×R²
    abs(0.02689260-0.02684466)×1.28723511128026e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.28723511128026e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.28723511128026e-06×40589641000000     		ar = 93212.3171971579m²