Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66208 / 66208
↖ ↑ ↗
← S  1.845384°
E  1.845703°		 ← 305.20 m → S  1.845384°
E  1.848450°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.848129°
E  1.845703°		 ← 305.20 m →
93 159 m²		 S  1.848129°
E  1.848450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505130767822266 y=0.505130767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505130767822266 × 217)
    floor (0.505130767822266 × 131072)
    floor (66208.5)     		tx = 66208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505130767822266 × 217)
    floor (0.505130767822266 × 131072)
    floor (66208.5)     		ty = 66208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66208 / 66208 ti = "17/66208/66208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66208/66208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66208 ÷ 217
    66208 ÷ 131072     		x = 0.505126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66208 ÷ 217
    66208 ÷ 131072     		y = 0.505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505126953125 × 2 - 1) × π
    0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0322135965446777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03221360} λ = 0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0322135965446777))-π/2
    2×atan(0.968299734511517)-π/2
    2×0.769294150115815-π/2
    1.53858830023163-1.57079632675     		φ = -0.03220803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03220803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.845384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66208 KachelY 66208 0.03221360 -0.03220803 1.845703 -1.845384
    Oben rechts KachelX + 1 66209 KachelY 66208 0.03226153 -0.03220803 1.848450 -1.845384
    Unten links KachelX 66208 KachelY + 1 66209 0.03221360 -0.03225594 1.845703 -1.848129
    Unten rechts KachelX + 1 66209 KachelY + 1 66209 0.03226153 -0.03225594 1.848450 -1.848129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03220803--0.03225594) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03220803--0.03225594) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03221360-0.03226153) × cos(-0.03220803) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.999481366238124 × 6371000     		do = 305.203658941613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03221360-0.03226153) × cos(-0.03225594) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.999479822271093 × 6371000     		du = 305.203187472706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03220803)-sin(-0.03225594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999481366238124-0.999479822271093)×R²
    abs(0.03226153-0.03221360)×1.5439670306705e-06×R²
    4.79299999999946e-05×1.5439670306705e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×1.5439670306705e-06×40589641000000     		ar = 93158.6478711283m²