Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66304 / 66305
↖ ↑ ↗
← S  2.111643°
E  2.109375°		 ← 305.22 m → S  2.111643°
E  2.112122°		 →
↑
305.17 m
↓
↑
305.17 m
↓
S  2.114388°
E  2.109375°		 ← 305.22 m →
93 144 m²		 S  2.114388°
E  2.112122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505863189697266 y=0.505870819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505863189697266 × 217)
    floor (0.505863189697266 × 131072)
    floor (66304.5)     		tx = 66304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505870819091797 × 217)
    floor (0.505870819091797 × 131072)
    floor (66305.5)     		ty = 66305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66304 / 66305 ti = "17/66304/66305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66304/66305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66304 ÷ 217
    66304 ÷ 131072     		x = 0.505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66305 ÷ 217
    66305 ÷ 131072     		y = 0.505867004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505859375 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505867004394531 × 2 - 1) × π
    -0.0117340087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0368634758078232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03681554} λ = 0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0368634758078232))-π/2
    2×atan(0.963807709436271)-π/2
    2×0.766970598606013-π/2
    1.53394119721203-1.57079632675     		φ = -0.03685513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03685513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.111643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66304 KachelY 66305 0.03681554 -0.03685513 2.109375 -2.111643
    Oben rechts KachelX + 1 66305 KachelY 66305 0.03686348 -0.03685513 2.112122 -2.111643
    Unten links KachelX 66304 KachelY + 1 66306 0.03681554 -0.03690303 2.109375 -2.114388
    Unten rechts KachelX + 1 66305 KachelY + 1 66306 0.03686348 -0.03690303 2.112122 -2.114388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03685513--0.03690303) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dl = 305.170900000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03685513--0.03690303) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dr = 305.170900000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03681554-0.03686348) × cos(-0.03685513) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99932092656705 × 6371000     		do = 305.218333494204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03681554-0.03686348) × cos(-0.03690303) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999319160459519 × 6371000     		du = 305.217794079504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03685513)-sin(-0.03690303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99932092656705-0.999319160459519)×R²
    abs(0.03686348-0.03681554)×1.76610753099826e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.76610753099826e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76610753099826e-06×40589641000000     		ar = 93143.6712399035m²