Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66558 / 66566
↖ ↑ ↗
← S  2.827831°
E  2.807007°		 ← 305.05 m → S  2.827831°
E  2.809754°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.830574°
E  2.807007°		 ← 305.05 m →
93 055 m²		 S  2.830574°
E  2.809754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507801055908203 y=0.507862091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507801055908203 × 217)
    floor (0.507801055908203 × 131072)
    floor (66558.5)     		tx = 66558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507862091064453 × 217)
    floor (0.507862091064453 × 131072)
    floor (66566.5)     		ty = 66566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66558 / 66566 ti = "17/66558/66566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66558/66566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66558 ÷ 217
    66558 ÷ 131072     		x = 0.507797241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66566 ÷ 217
    66566 ÷ 131072     		y = 0.507858276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507797241210938 × 2 - 1) × π
    0.015594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04899151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507858276367188 × 2 - 1) × π
    -0.015716552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0493750066086578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04899151} λ = 0.04899151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0493750066086578))-π/2
    2×atan(0.951824122426456)-π/2
    2×0.760720684892041-π/2
    1.52144136978408-1.57079632675     		φ = -0.04935496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04899151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.807007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04935496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.827831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66558 KachelY 66566 0.04899151 -0.04935496 2.807007 -2.827831
    Oben rechts KachelX + 1 66559 KachelY 66566 0.04903945 -0.04935496 2.809754 -2.827831
    Unten links KachelX 66558 KachelY + 1 66567 0.04899151 -0.04940284 2.807007 -2.830574
    Unten rechts KachelX + 1 66559 KachelY + 1 66567 0.04903945 -0.04940284 2.809754 -2.830574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04935496--0.04940284) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04935496--0.04940284) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04899151-0.04903945) × cos(-0.04935496) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998782291177777 × 6371000     		do = 305.053820381845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04899151-0.04903945) × cos(-0.04940284) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998779927876715 × 6371000     		du = 305.053098568869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04935496)-sin(-0.04940284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998782291177777-0.998779927876715)×R²
    abs(0.04903945-0.04899151)×2.36330106184734e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.36330106184734e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36330106184734e-06×40589641000000     		ar = 93054.5688821739m²