Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66559 / 66559
↖ ↑ ↗
← S  2.808628°
E  2.809754°		 ← 305.06 m → S  2.808628°
E  2.812500°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.811371°
E  2.809754°		 ← 305.06 m →
93 056 m²		 S  2.811371°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507808685302734 y=0.507808685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507808685302734 × 217)
    floor (0.507808685302734 × 131072)
    floor (66559.5)     		tx = 66559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507808685302734 × 217)
    floor (0.507808685302734 × 131072)
    floor (66559.5)     		ty = 66559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66559 / 66559 ti = "17/66559/66559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66559/66559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66559 ÷ 217
    66559 ÷ 131072     		x = 0.507804870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66559 ÷ 217
    66559 ÷ 131072     		y = 0.507804870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507804870605469 × 2 - 1) × π
    0.0156097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04903945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507804870605469 × 2 - 1) × π
    -0.0156097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0490394483113174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04903945} λ = 0.04903945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0490394483113174))-π/2
    2×atan(0.952143568501738)-π/2
    2×0.760888261118536-π/2
    1.52177652223707-1.57079632675     		φ = -0.04901980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04903945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.809754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04901980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.808628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66559 KachelY 66559 0.04903945 -0.04901980 2.809754 -2.808628
    Oben rechts KachelX + 1 66560 KachelY 66559 0.04908739 -0.04901980 2.812500 -2.808628
    Unten links KachelX 66559 KachelY + 1 66560 0.04903945 -0.04906768 2.809754 -2.811371
    Unten rechts KachelX + 1 66560 KachelY + 1 66560 0.04908739 -0.04906768 2.812500 -2.811371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04901980--0.04906768) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04901980--0.04906768) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04903945-0.04908739) × cos(-0.04901980) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998798770173229 × 6371000     		do = 305.058853491269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04903945-0.04908739) × cos(-0.04906768) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.9987964229002 × 6371000     		du = 305.058136573667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04901980)-sin(-0.04906768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998798770173229-0.9987964229002)×R²
    abs(0.04908739-0.04903945)×2.34727302872439e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.34727302872439e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.34727302872439e-06×40589641000000     		ar = 93056.1049460503m²