Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6656 / 6656
↖ ↑ ↗
← S 74.019543°
E112.500000°		 ← 1 345.30 m → S 74.019543°
E112.543945°		 →
↑
1 344.79 m
↓
↑
1 344.79 m
↓
S 74.031637°
E112.500000°		 ← 1 344.31 m →
1 808 477 m²		 S 74.031637°
E112.543945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81256103515625 y=0.81256103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81256103515625 × 213)
    floor (0.81256103515625 × 8192)
    floor (6656.5)     		tx = 6656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.81256103515625 × 213)
    floor (0.81256103515625 × 8192)
    floor (6656.5)     		ty = 6656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6656 / 6656 ti = "13/6656/6656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6656/6656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6656 ÷ 213
    6656 ÷ 8192     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6656 ÷ 213
    6656 ÷ 8192     		y = 0.8125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8125 × 2 - 1) × π
    -0.625 × 3.1415926535     		Φ = -1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.9634954084375))-π/2
    2×atan(0.140366922701998)-π/2
    2×0.139455792601043-π/2
    0.278911585202086-1.57079632675     		φ = -1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6656 KachelY 6656 1.96349541 -1.29188474 112.500000 -74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 6657 KachelY 6656 1.96426240 -1.29188474 112.543945 -74.019543
    Unten links KachelX 6656 KachelY + 1 6657 1.96349541 -1.29209582 112.500000 -74.031637
    Unten rechts KachelX + 1 6657 KachelY + 1 6657 1.96426240 -1.29209582 112.543945 -74.031637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29188474--1.29209582) × R
    0.000211079999999919 × 6371000     		dl = 1344.79067999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29188474--1.29209582) × R
    0.000211079999999919 × 6371000     		dr = 1344.79067999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-1.96426240) × cos(-1.29188474) × R
    0.000766990000000023 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 1345.29782725001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-1.96426240) × cos(-1.29209582) × R
    0.000766990000000023 × 0.275106530565343 × 6371000     		du = 1344.30621564277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29188474)-sin(-1.29209582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.275106530565343)×R²
    abs(1.96426240-1.96349541)×0.000202929083986447×R²
    0.000766990000000023×0.000202929083986447×6371000²
    0.000766990000000023×0.000202929083986447×40589641000000     		ar = 1808477.23160015m²