Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66560 / 66558
↖ ↑ ↗
← S  2.805885°
E  2.812500°		 ← 305 m → S  2.805885°
E  2.815246°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  2.808628°
E  2.812500°		 ← 305 m →
93 017 m²		 S  2.808628°
E  2.815246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507816314697266 y=0.507801055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507816314697266 × 217)
    floor (0.507816314697266 × 131072)
    floor (66560.5)     		tx = 66560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507801055908203 × 217)
    floor (0.507801055908203 × 131072)
    floor (66558.5)     		ty = 66558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66560 / 66558 ti = "17/66560/66558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66560/66558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66560 ÷ 217
    66560 ÷ 131072     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66558 ÷ 217
    66558 ÷ 131072     		y = 0.507797241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507797241210938 × 2 - 1) × π
    -0.015594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0489915114116974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0489915114116974))-π/2
    2×atan(0.95218921240641)-π/2
    2×0.760912200804831-π/2
    1.52182440160966-1.57079632675     		φ = -0.04897193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04897193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.805885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66560 KachelY 66558 0.04908739 -0.04897193 2.812500 -2.805885
    Oben rechts KachelX + 1 66561 KachelY 66558 0.04913532 -0.04897193 2.815246 -2.805885
    Unten links KachelX 66560 KachelY + 1 66559 0.04908739 -0.04901980 2.812500 -2.808628
    Unten rechts KachelX + 1 66561 KachelY + 1 66559 0.04913532 -0.04901980 2.815246 -2.808628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04897193--0.04901980) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04897193--0.04901980) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.04913532) × cos(-0.04897193) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998801114666994 × 6371000     		do = 304.995935940986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.04913532) × cos(-0.04901980) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998798770173229 × 6371000     		du = 304.995220021611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04897193)-sin(-0.04901980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998801114666994-0.998798770173229)×R²
    abs(0.04913532-0.04908739)×2.34449376457224e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.34449376457224e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34449376457224e-06×40589641000000     		ar = 93017.481241524m²