Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66563 / 66565
↖ ↑ ↗
← S  2.825088°
E  2.820740°		 ← 304.99 m → S  2.825088°
E  2.823486°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.827831°
E  2.820740°		 ← 304.99 m →
93 035 m²		 S  2.827831°
E  2.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507839202880859 y=0.507854461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507839202880859 × 217)
    floor (0.507839202880859 × 131072)
    floor (66563.5)     		tx = 66563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507854461669922 × 217)
    floor (0.507854461669922 × 131072)
    floor (66565.5)     		ty = 66565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66563 / 66565 ti = "17/66563/66565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66563/66565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66563 ÷ 217
    66563 ÷ 131072     		x = 0.507835388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66565 ÷ 217
    66565 ÷ 131072     		y = 0.507850646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507835388183594 × 2 - 1) × π
    0.0156707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04923120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507850646972656 × 2 - 1) × π
    -0.0157012939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0493270697090378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04923120} λ = 0.04923120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0493270697090378))-π/2
    2×atan(0.951869751017506)-π/2
    2×0.760744624183561-π/2
    1.52148924836712-1.57079632675     		φ = -0.04930708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04923120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.820740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04930708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.825088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66563 KachelY 66565 0.04923120 -0.04930708 2.820740 -2.825088
    Oben rechts KachelX + 1 66564 KachelY 66565 0.04927913 -0.04930708 2.823486 -2.825088
    Unten links KachelX 66563 KachelY + 1 66566 0.04923120 -0.04935496 2.820740 -2.827831
    Unten rechts KachelX + 1 66564 KachelY + 1 66566 0.04927913 -0.04935496 2.823486 -2.827831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04930708--0.04935496) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04930708--0.04935496) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04923120-0.04927913) × cos(-0.04930708) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998784652189136 × 6371000     		do = 304.990908925284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04923120-0.04927913) × cos(-0.04935496) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998782291177777 × 6371000     		du = 304.990187962063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04930708)-sin(-0.04935496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998784652189136-0.998782291177777)×R²
    abs(0.04927913-0.04923120)×2.36101135908662e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.36101135908662e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.36101135908662e-06×40589641000000     		ar = 93035.3782821428m²