Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66564 / 68612
↖ ↑ ↗
← S  8.418036°
E  2.823486°		 ← 302.14 m → S  8.418036°
E  2.826233°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.420753°
E  2.823486°		 ← 302.13 m →
91 279 m²		 S  8.420753°
E  2.826233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507846832275391 y=0.523471832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507846832275391 × 217)
    floor (0.507846832275391 × 131072)
    floor (66564.5)     		tx = 66564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523471832275391 × 217)
    floor (0.523471832275391 × 131072)
    floor (68612.5)     		ty = 68612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66564 / 68612 ti = "17/66564/68612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66564/68612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66564 ÷ 217
    66564 ÷ 131072     		x = 0.507843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68612 ÷ 217
    68612 ÷ 131072     		y = 0.523468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.04693603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.147453903231293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04927913} λ = 0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147453903231293))-π/2
    2×atan(0.862902214408388)-π/2
    2×0.711936938573608-π/2
    1.42387387714722-1.57079632675     		φ = -0.14692245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14692245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.418036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66564 KachelY 68612 0.04927913 -0.14692245 2.823486 -8.418036
    Oben rechts KachelX + 1 66565 KachelY 68612 0.04932707 -0.14692245 2.826233 -8.418036
    Unten links KachelX 66564 KachelY + 1 68613 0.04927913 -0.14696987 2.823486 -8.420753
    Unten rechts KachelX + 1 66565 KachelY + 1 68613 0.04932707 -0.14696987 2.826233 -8.420753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14692245--0.14696987) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14692245--0.14696987) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04927913-0.04932707) × cos(-0.14692245) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989226298057673 × 6371000     		do = 302.135174111746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04927913-0.04932707) × cos(-0.14696987) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989219354921251 × 6371000     		du = 302.133053499166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14692245)-sin(-0.14696987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989226298057673-0.989219354921251)×R²
    abs(0.04932707-0.04927913)×6.94313642246591e-06×R²
    4.79400000000033e-05×6.94313642246591e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×6.94313642246591e-06×40589641000000     		ar = 91278.5891571055m²