Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66570 / 66570
↖ ↑ ↗
← S  2.838804°
E  2.839966°		 ← 305.05 m → S  2.838804°
E  2.842712°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.841547°
E  2.839966°		 ← 305.05 m →
93 054 m²		 S  2.841547°
E  2.842712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507892608642578 y=0.507892608642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507892608642578 × 217)
    floor (0.507892608642578 × 131072)
    floor (66570.5)     		tx = 66570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507892608642578 × 217)
    floor (0.507892608642578 × 131072)
    floor (66570.5)     		ty = 66570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66570 / 66570 ti = "17/66570/66570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66570/66570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66570 ÷ 217
    66570 ÷ 131072     		x = 0.507888793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66570 ÷ 217
    66570 ÷ 131072     		y = 0.507888793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507888793945312 × 2 - 1) × π
    0.015777587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04956675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507888793945312 × 2 - 1) × π
    -0.015777587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0495667542071381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04956675} λ = 0.04956675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0495667542071381))-π/2
    2×atan(0.951641629933613)-π/2
    2×0.760624928292666-π/2
    1.52124985658533-1.57079632675     		φ = -0.04954647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04956675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.839966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04954647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.838804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66570 KachelY 66570 0.04956675 -0.04954647 2.839966 -2.838804
    Oben rechts KachelX + 1 66571 KachelY 66570 0.04961469 -0.04954647 2.842712 -2.838804
    Unten links KachelX 66570 KachelY + 1 66571 0.04956675 -0.04959435 2.839966 -2.841547
    Unten rechts KachelX + 1 66571 KachelY + 1 66571 0.04961469 -0.04959435 2.842712 -2.841547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04954647--0.04959435) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04954647--0.04959435) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04956675-0.04961469) × cos(-0.04954647) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998772824730629 × 6371000     		do = 305.050929085263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04956675-0.04961469) × cos(-0.04959435) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998770452271288 × 6371000     		du = 305.050204475114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04954647)-sin(-0.04959435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998772824730629-0.998770452271288)×R²
    abs(0.04961469-0.04956675)×2.37245934076036e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.37245934076036e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37245934076036e-06×40589641000000     		ar = 93053.686484387m²