Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6658 / 6658
↖ ↑ ↗
← S 74.043723°
E112.587891°		 ← 1 343.32 m → S 74.043723°
E112.631836°		 →
↑
1 342.82 m
↓
↑
1 342.82 m
↓
S 74.055799°
E112.587891°		 ← 1 342.32 m →
1 803 160 m²		 S 74.055799°
E112.631836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81280517578125 y=0.81280517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81280517578125 × 213)
    floor (0.81280517578125 × 8192)
    floor (6658.5)     		tx = 6658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.81280517578125 × 213)
    floor (0.81280517578125 × 8192)
    floor (6658.5)     		ty = 6658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6658 / 6658 ti = "13/6658/6658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6658/6658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6658 ÷ 213
    6658 ÷ 8192     		x = 0.812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6658 ÷ 213
    6658 ÷ 8192     		y = 0.812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812744140625 × 2 - 1) × π
    0.62548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96502939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.62548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.96502938922534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96502939} λ = 1.96502939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96502938922534))-π/2
    2×atan(0.140151767603408)-π/2
    2×0.139244788519797-π/2
    0.278489577039594-1.57079632675     		φ = -1.29230675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96502939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29230675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.043723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6658 KachelY 6658 1.96502939 -1.29230675 112.587891 -74.043723
    Oben rechts KachelX + 1 6659 KachelY 6658 1.96579638 -1.29230675 112.631836 -74.043723
    Unten links KachelX 6658 KachelY + 1 6659 1.96502939 -1.29251752 112.587891 -74.055799
    Unten rechts KachelX + 1 6659 KachelY + 1 6659 1.96579638 -1.29251752 112.631836 -74.055799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29230675--1.29251752) × R
    0.000210770000000027 × 6371000     		dl = 1342.81567000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29230675--1.29251752) × R
    0.000210770000000027 × 6371000     		dr = 1342.81567000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96502939-1.96579638) × cos(-1.29230675) × R
    0.000766990000000023 × 0.274903733444816 × 6371000     		do = 1343.31524887408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96502939-1.96579638) × cos(-1.29251752) × R
    0.000766990000000023 × 0.27470107793817 × 6371000     		du = 1342.32497410068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29230675)-sin(-1.29251752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274903733444816-0.27470107793817)×R²
    abs(1.96579638-1.96502939)×0.000202655506645333×R²
    0.000766990000000023×0.000202655506645333×6371000²
    0.000766990000000023×0.000202655506645333×40589641000000     		ar = 1803159.89437462m²