Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66608 / 66544
↖ ↑ ↗
← S  2.767478°
E  2.944336°		 ← 305.01 m → S  2.767478°
E  2.947082°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.770221°
E  2.944336°		 ← 305.01 m →
93 040 m²		 S  2.770221°
E  2.947082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508182525634766 y=0.507694244384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508182525634766 × 217)
    floor (0.508182525634766 × 131072)
    floor (66608.5)     		tx = 66608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507694244384766 × 217)
    floor (0.507694244384766 × 131072)
    floor (66544.5)     		ty = 66544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66608 / 66544 ti = "17/66608/66544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66608/66544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66608 ÷ 217
    66608 ÷ 131072     		x = 0.5081787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66544 ÷ 217
    66544 ÷ 131072     		y = 0.5076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5081787109375 × 2 - 1) × π
    0.016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05138836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5076904296875 × 2 - 1) × π
    -0.015380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0483203948170166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05138836} λ = 0.05138836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0483203948170166))-π/2
    2×atan(0.952828456867922)-π/2
    2×0.761247362286686-π/2
    1.52249472457337-1.57079632675     		φ = -0.04830160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05138836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04830160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.767478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66608 KachelY 66544 0.05138836 -0.04830160 2.944336 -2.767478
    Oben rechts KachelX + 1 66609 KachelY 66544 0.05143629 -0.04830160 2.947082 -2.767478
    Unten links KachelX 66608 KachelY + 1 66545 0.05138836 -0.04834948 2.944336 -2.770221
    Unten rechts KachelX + 1 66609 KachelY + 1 66545 0.05143629 -0.04834948 2.947082 -2.770221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04830160--0.04834948) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04830160--0.04834948) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05138836-0.05143629) × cos(-0.04830160) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998833704496789 × 6371000     		do = 305.00588763757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05138836-0.05143629) × cos(-0.04834948) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998831391570431 × 6371000     		du = 305.005181357682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04830160)-sin(-0.04834948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998833704496789-0.998831391570431)×R²
    abs(0.05143629-0.05138836)×2.31292635777258e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.31292635777258e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.31292635777258e-06×40589641000000     		ar = 93039.9496801909m²