Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66624 / 64576
↖ ↑ ↗
← N  2.635789°
E  2.988281°		 ← 305.04 m → N  2.635789°
E  2.991028°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
N  2.633045°
E  2.988281°		 ← 305.04 m →
93 070 m²		 N  2.633045°
E  2.991028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508304595947266 y=0.492679595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508304595947266 × 217)
    floor (0.508304595947266 × 131072)
    floor (66624.5)     		tx = 66624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492679595947266 × 217)
    floor (0.492679595947266 × 131072)
    floor (64576.5)     		ty = 64576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66624 / 64576 ti = "17/66624/64576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66624/64576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66624 ÷ 217
    66624 ÷ 131072     		x = 0.50830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64576 ÷ 217
    64576 ÷ 131072     		y = 0.49267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05215535} λ = 0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0460194236352539))-π/2
    2×atan(1.0470947491459)-π/2
    2×0.808399757899618-π/2
    1.61679951579924-1.57079632675     		φ = 0.04600319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04600319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.635789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66624 KachelY 64576 0.05215535 0.04600319 2.988281 2.635789
    Oben rechts KachelX + 1 66625 KachelY 64576 0.05220328 0.04600319 2.991028 2.635789
    Unten links KachelX 66624 KachelY + 1 64577 0.05215535 0.04595530 2.988281 2.633045
    Unten rechts KachelX + 1 66625 KachelY + 1 64577 0.05220328 0.04595530 2.991028 2.633045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04600319-0.04595530) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04600319-0.04595530) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05215535-0.05220328) × cos(0.04600319) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998942039854171 × 6371000     		do = 305.038969142176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05215535-0.05220328) × cos(0.04595530) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998944241024443 × 6371000     		du = 305.039641295999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04600319)-sin(0.04595530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998942039854171-0.998944241024443)×R²
    abs(0.05220328-0.05215535)×2.20117027238675e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.20117027238675e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.20117027238675e-06×40589641000000     		ar = 93069.6852727392m²