Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66656 / 66528
↖ ↑ ↗
← S  2.723583°
E  3.076172°		 ← 305.02 m → S  2.723583°
E  3.078918°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.726326°
E  3.076172°		 ← 305.02 m →
93 043 m²		 S  2.726326°
E  3.078918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508548736572266 y=0.507572174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508548736572266 × 217)
    floor (0.508548736572266 × 131072)
    floor (66656.5)     		tx = 66656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507572174072266 × 217)
    floor (0.507572174072266 × 131072)
    floor (66528.5)     		ty = 66528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66656 / 66528 ti = "17/66656/66528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66656/66528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66656 ÷ 217
    66656 ÷ 131072     		x = 0.508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66528 ÷ 217
    66528 ÷ 131072     		y = 0.507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    0.01708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05368933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.01513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05368933} λ = 0.05368933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0475534044230957))-π/2
    2×atan(0.95355954747529)-π/2
    2×0.761630417270103-π/2
    1.52326083454021-1.57079632675     		φ = -0.04753549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05368933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04753549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.723583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66656 KachelY 66528 0.05368933 -0.04753549 3.076172 -2.723583
    Oben rechts KachelX + 1 66657 KachelY 66528 0.05373726 -0.04753549 3.078918 -2.723583
    Unten links KachelX 66656 KachelY + 1 66529 0.05368933 -0.04758337 3.076172 -2.726326
    Unten rechts KachelX + 1 66657 KachelY + 1 66529 0.05373726 -0.04758337 3.078918 -2.726326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04753549--0.04758337) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04753549--0.04758337) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05368933-0.05373726) × cos(-0.04753549) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998870401324842 × 6371000     		do = 305.017093455478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05368933-0.05373726) × cos(-0.04758337) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998868125037682 × 6371000     		du = 305.01639836381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04753549)-sin(-0.04758337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998870401324842-0.998868125037682)×R²
    abs(0.05373726-0.05368933)×2.27628715965267e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.27628715965267e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.27628715965267e-06×40589641000000     		ar = 93043.3696483236m²