Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67071 / 66049
↖ ↑ ↗
← S  1.408855°
E  4.216003°		 ← 305.33 m → S  1.408855°
E  4.218750°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.411600°
E  4.216003°		 ← 305.33 m →
93 218 m²		 S  1.411600°
E  4.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511714935302734 y=0.503917694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511714935302734 × 217)
    floor (0.511714935302734 × 131072)
    floor (67071.5)     		tx = 67071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503917694091797 × 217)
    floor (0.503917694091797 × 131072)
    floor (66049.5)     		ty = 66049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67071 / 66049 ti = "17/67071/66049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67071/66049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67071 ÷ 217
    67071 ÷ 131072     		x = 0.511711120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66049 ÷ 217
    66049 ÷ 131072     		y = 0.503913879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511711120605469 × 2 - 1) × π
    0.0234222412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07358314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503913879394531 × 2 - 1) × π
    -0.0078277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0245916295050888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07358314} λ = 0.07358314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0245916295050888))-π/2
    2×atan(0.975708281155362)-π/2
    2×0.773103587769628-π/2
    1.54620717553926-1.57079632675     		φ = -0.02458915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07358314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.216003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02458915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.408855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67071 KachelY 66049 0.07358314 -0.02458915 4.216003 -1.408855
    Oben rechts KachelX + 1 67072 KachelY 66049 0.07363108 -0.02458915 4.218750 -1.408855
    Unten links KachelX 67071 KachelY + 1 66050 0.07358314 -0.02463707 4.216003 -1.411600
    Unten rechts KachelX + 1 67072 KachelY + 1 66050 0.07363108 -0.02463707 4.218750 -1.411600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02458915--0.02463707) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02458915--0.02463707) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07358314-0.07363108) × cos(-0.02458915) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999697702083038 × 6371000     		do = 305.333410434988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07358314-0.07363108) × cos(-0.02463707) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999696522741891 × 6371000     		du = 305.333050233845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02458915)-sin(-0.02463707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999697702083038-0.999696522741891)×R²
    abs(0.07363108-0.07358314)×1.17934114751694e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.17934114751694e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.17934114751694e-06×40589641000000     		ar = 93217.7222791101m²