Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67088 / 67088
↖ ↑ ↗
← S  4.258768°
E  4.262695°		 ← 304.58 m → S  4.258768°
E  4.265442°		 →
↑
304.53 m
↓
↑
304.53 m
↓
S  4.261507°
E  4.262695°		 ← 304.58 m →
92 755 m²		 S  4.261507°
E  4.265442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511844635009766 y=0.511844635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511844635009766 × 217)
    floor (0.511844635009766 × 131072)
    floor (67088.5)     		tx = 67088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511844635009766 × 217)
    floor (0.511844635009766 × 131072)
    floor (67088.5)     		ty = 67088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67088 / 67088 ti = "17/67088/67088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67088/67088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67088 ÷ 217
    67088 ÷ 131072     		x = 0.5118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67088 ÷ 217
    67088 ÷ 131072     		y = 0.5118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5118408203125 × 2 - 1) × π
    0.023681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07439807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.023681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0743980682103272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07439807} λ = 0.07439807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0743980682103272))-π/2
    2×atan(0.928302092730245)-π/2
    2×0.748233398441121-π/2
    1.49646679688224-1.57079632675     		φ = -0.07432953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07439807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07432953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.258768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67088 KachelY 67088 0.07439807 -0.07432953 4.262695 -4.258768
    Oben rechts KachelX + 1 67089 KachelY 67088 0.07444601 -0.07432953 4.265442 -4.258768
    Unten links KachelX 67088 KachelY + 1 67089 0.07439807 -0.07437733 4.262695 -4.261507
    Unten rechts KachelX + 1 67089 KachelY + 1 67089 0.07444601 -0.07437733 4.265442 -4.261507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07432953--0.07437733) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dl = 304.533800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07432953--0.07437733) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dr = 304.533800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07439807-0.07444601) × cos(-0.07432953) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.997238832096132 × 6371000     		do = 304.582408249762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07439807-0.07444601) × cos(-0.07437733) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.997235281276035 × 6371000     		du = 304.581323737906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07432953)-sin(-0.07437733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997238832096132-0.997235281276035)×R²
    abs(0.07444601-0.07439807)×3.55082009728669e-06×R²
    4.79400000000102e-05×3.55082009728669e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×3.55082009728669e-06×40589641000000     		ar = 92755.4730798642m²