Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67584 / 67584
↖ ↑ ↗
← S  5.615986°
E  5.625000°		 ← 303.96 m → S  5.615986°
E  5.627747°		 →
↑
303.96 m
↓
↑
303.96 m
↓
S  5.618719°
E  5.625000°		 ← 303.96 m →
92 392 m²		 S  5.618719°
E  5.627747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515628814697266 y=0.515628814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515628814697266 × 217)
    floor (0.515628814697266 × 131072)
    floor (67584.5)     		tx = 67584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515628814697266 × 217)
    floor (0.515628814697266 × 131072)
    floor (67584.5)     		ty = 67584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67584 / 67584 ti = "17/67584/67584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67584/67584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67584 ÷ 217
    67584 ÷ 131072     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67584 ÷ 217
    67584 ÷ 131072     		y = 0.515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515625 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Φ = -0.098174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.098174770421875))-π/2
    2×atan(0.906490462188372)-π/2
    2×0.736389441754059-π/2
    1.47277888350812-1.57079632675     		φ = -0.09801744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09801744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.615986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67584 KachelY 67584 0.09817477 -0.09801744 5.625000 -5.615986
    Oben rechts KachelX + 1 67585 KachelY 67584 0.09822271 -0.09801744 5.627747 -5.615986
    Unten links KachelX 67584 KachelY + 1 67585 0.09817477 -0.09806515 5.625000 -5.618719
    Unten rechts KachelX + 1 67585 KachelY + 1 67585 0.09822271 -0.09806515 5.627747 -5.618719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09801744--0.09806515) × R
    4.77100000000064e-05 × 6371000     		dl = 303.96041000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09801744--0.09806515) × R
    4.77100000000064e-05 × 6371000     		dr = 303.96041000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.09822271) × cos(-0.09801744) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995200135433612 × 6371000     		do = 303.959737812976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.09822271) × cos(-0.09806515) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995195465373337 × 6371000     		du = 303.958311456361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09801744)-sin(-0.09806515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995200135433612-0.995195465373337)×R²
    abs(0.09822271-0.09817477)×4.67006027471406e-06×R²
    4.79400000000102e-05×4.67006027471406e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×4.67006027471406e-06×40589641000000     		ar = 92391.5097687064m²