Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67585 / 71679
↖ ↑ ↗
← S 16.633560°
E  5.627747°		 ← 292.58 m → S 16.633560°
E  5.630493°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
S 16.636192°
E  5.627747°		 ← 292.58 m →
85 615 m²		 S 16.636192°
E  5.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515636444091797 y=0.546871185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515636444091797 × 217)
    floor (0.515636444091797 × 131072)
    floor (67585.5)     		tx = 67585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546871185302734 × 217)
    floor (0.546871185302734 × 131072)
    floor (71679.5)     		ty = 71679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67585 / 71679 ti = "17/67585/71679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67585/71679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67585 ÷ 217
    67585 ÷ 131072     		x = 0.515632629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71679 ÷ 217
    71679 ÷ 131072     		y = 0.546867370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515632629394531 × 2 - 1) × π
    0.0312652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09822271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546867370605469 × 2 - 1) × π
    -0.0937347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.294476374366005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09822271} λ = 0.09822271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294476374366005))-π/2
    2×atan(0.744921545377495)-π/2
    2×0.64024296709987-π/2
    1.28048593419974-1.57079632675     		φ = -0.29031039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09822271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.627747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29031039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.633560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67585 KachelY 71679 0.09822271 -0.29031039 5.627747 -16.633560
    Oben rechts KachelX + 1 67586 KachelY 71679 0.09827064 -0.29031039 5.630493 -16.633560
    Unten links KachelX 67585 KachelY + 1 71680 0.09822271 -0.29035632 5.627747 -16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 67586 KachelY + 1 71680 0.09827064 -0.29035632 5.630493 -16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29031039--0.29035632) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dl = 292.620030000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29031039--0.29035632) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dr = 292.620030000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09822271-0.09827064) × cos(-0.29031039) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.95815507264343 × 6371000     		do = 292.584178037205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09822271-0.09827064) × cos(-0.29035632) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 292.580162997795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29031039)-sin(-0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95815507264343-0.958141924186794)×R²
    abs(0.09827064-0.09822271)×1.3148456635248e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.3148456635248e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.3148456635248e-05×40589641000000     		ar = 85615.4035294138m²