Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67589 / 67589
↖ ↑ ↗
← S  5.629652°
E  5.638733°		 ← 303.95 m → S  5.629652°
E  5.641479°		 →
↑
303.96 m
↓
↑
303.96 m
↓
S  5.632386°
E  5.638733°		 ← 303.95 m →
92 389 m²		 S  5.632386°
E  5.641479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515666961669922 y=0.515666961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515666961669922 × 217)
    floor (0.515666961669922 × 131072)
    floor (67589.5)     		tx = 67589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515666961669922 × 217)
    floor (0.515666961669922 × 131072)
    floor (67589.5)     		ty = 67589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67589 / 67589 ti = "17/67589/67589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67589/67589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67589 ÷ 217
    67589 ÷ 131072     		x = 0.515663146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67589 ÷ 217
    67589 ÷ 131072     		y = 0.515663146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515663146972656 × 2 - 1) × π
    0.0313262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09841445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515663146972656 × 2 - 1) × π
    -0.0313262939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0984144549199753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09841445} λ = 0.09841445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0984144549199753))-π/2
    2×atan(0.90627321651316)-π/2
    2×0.736270176131476-π/2
    1.47254035226295-1.57079632675     		φ = -0.09825597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09841445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.638733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09825597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.629652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67589 KachelY 67589 0.09841445 -0.09825597 5.638733 -5.629652
    Oben rechts KachelX + 1 67590 KachelY 67589 0.09846239 -0.09825597 5.641479 -5.629652
    Unten links KachelX 67589 KachelY + 1 67590 0.09841445 -0.09830368 5.638733 -5.632386
    Unten rechts KachelX + 1 67590 KachelY + 1 67590 0.09846239 -0.09830368 5.641479 -5.632386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09825597--0.09830368) × R
    4.77100000000064e-05 × 6371000     		dl = 303.96041000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09825597--0.09830368) × R
    4.77100000000064e-05 × 6371000     		dr = 303.96041000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09841445-0.09846239) × cos(-0.09825597) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995176764441226 × 6371000     		do = 303.952599710244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09841445-0.09846239) × cos(-0.09830368) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995172083055468 × 6371000     		du = 303.951169894534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09825597)-sin(-0.09830368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995176764441226-0.995172083055468)×R²
    abs(0.09846239-0.09841445)×4.68138575782096e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.68138575782096e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.68138575782096e-06×40589641000000     		ar = 92389.339542338m²