Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67592 / 67593
↖ ↑ ↗
← S  5.640586°
E  5.646973°		 ← 303.88 m → S  5.640586°
E  5.649719°		 →
↑
303.90 m
↓
↑
303.90 m
↓
S  5.643319°
E  5.646973°		 ← 303.88 m →
92 349 m²		 S  5.643319°
E  5.649719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515689849853516 y=0.515697479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515689849853516 × 217)
    floor (0.515689849853516 × 131072)
    floor (67592.5)     		tx = 67592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515697479248047 × 217)
    floor (0.515697479248047 × 131072)
    floor (67593.5)     		ty = 67593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67592 / 67593 ti = "17/67592/67593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67592/67593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67592 ÷ 217
    67592 ÷ 131072     		x = 0.51568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67593 ÷ 217
    67593 ÷ 131072     		y = 0.515693664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51568603515625 × 2 - 1) × π
    0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515693664550781 × 2 - 1) × π
    -0.0313873291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0986062025184555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09855827} λ = 0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0986062025184555))-π/2
    2×atan(0.9060994574598)-π/2
    2×0.736174765652115-π/2
    1.47234953130423-1.57079632675     		φ = -0.09844680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09844680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.640586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67592 KachelY 67593 0.09855827 -0.09844680 5.646973 -5.640586
    Oben rechts KachelX + 1 67593 KachelY 67593 0.09860620 -0.09844680 5.649719 -5.640586
    Unten links KachelX 67592 KachelY + 1 67594 0.09855827 -0.09849450 5.646973 -5.643319
    Unten rechts KachelX + 1 67593 KachelY + 1 67594 0.09860620 -0.09849450 5.649719 -5.643319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09844680--0.09849450) × R
    4.76999999999977e-05 × 6371000     		dl = 303.896699999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09844680--0.09849450) × R
    4.76999999999977e-05 × 6371000     		dr = 303.896699999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09855827-0.09860620) × cos(-0.09844680) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995158026289588 × 6371000     		do = 303.883475078592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09855827-0.09860620) × cos(-0.09849450) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995153336826704 × 6371000     		du = 303.882043094686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09844680)-sin(-0.09849450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995158026289588-0.995153336826704)×R²
    abs(0.09860620-0.09855827)×4.68946288401106e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.68946288401106e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.68946288401106e-06×40589641000000     		ar = 92348.9676908378m²