Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67616 / 63520
↖ ↑ ↗
← N  5.528510°
E  5.712891°		 ← 304.01 m → N  5.528510°
E  5.715637°		 →
↑
303.96 m
↓
↑
303.96 m
↓
N  5.525777°
E  5.712891°		 ← 304.01 m →
92 406 m²		 N  5.525777°
E  5.715637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515872955322266 y=0.484622955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515872955322266 × 217)
    floor (0.515872955322266 × 131072)
    floor (67616.5)     		tx = 67616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484622955322266 × 217)
    floor (0.484622955322266 × 131072)
    floor (63520.5)     		ty = 63520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67616 / 63520 ti = "17/67616/63520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67616/63520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67616 ÷ 217
    67616 ÷ 131072     		x = 0.515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63520 ÷ 217
    63520 ÷ 131072     		y = 0.484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515869140625 × 2 - 1) × π
    0.03173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09970875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    0.03076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09970875} λ = 0.09970875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0966407896340332))-π/2
    2×atan(1.10146464503212)-π/2
    2×0.833643519098325-π/2
    1.66728703819665-1.57079632675     		φ = 0.09649071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09970875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09649071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.528510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67616 KachelY 63520 0.09970875 0.09649071 5.712891 5.528510
    Oben rechts KachelX + 1 67617 KachelY 63520 0.09975669 0.09649071 5.715637 5.528510
    Unten links KachelX 67616 KachelY + 1 63521 0.09970875 0.09644300 5.712891 5.525777
    Unten rechts KachelX + 1 67617 KachelY + 1 63521 0.09975669 0.09644300 5.715637 5.525777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09649071-0.09644300) × R
    4.77099999999925e-05 × 6371000     		dl = 303.960409999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09649071-0.09644300) × R
    4.77099999999925e-05 × 6371000     		dr = 303.960409999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09970875-0.09975669) × cos(0.09649071) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99534838217992 × 6371000     		do = 304.005016185082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09970875-0.09975669) × cos(0.09644300) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99535297747863 × 6371000     		du = 304.006419707591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09649071)-sin(0.09644300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99534838217992-0.99535297747863)×R²
    abs(0.09975669-0.09970875)×4.59529870955322e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.59529870955322e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.59529870955322e-06×40589641000000     		ar = 92405.702686811m²